Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №10. Решение системы уравнений методом Жордана - Гаусса (множество решений).

Решение системы линейных уравнений методом Жордана - Гаусса.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Жордана - Гаусса.

Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
- 2 x1 + x2 + 3 x3 - 2 x4 = -3
2 x1 - x2 - 2 x3 + x4 = 2
3 x1 - 3 x2 - 2 x3 + 3 x4 = 3
Решение:
Процесс решения системы уравнений методом Жордана - Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.
Каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы (сравните сами).
Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.
  • Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
  • К уравнению 2 прибавим уравнение 1, умноженное на 2.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    2 x1 - x2 - 2 x3 + x4 = 2
    3 x1 - 3 x2 - 2 x3 + 3 x4 = 3
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    2 -1 -2 1 2
    3 -3 -2 3 3
    Из уравнения 3 вычитаем уравнение 1, умноженное на 2.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    3 x2 - 5 x4 = -2
    3 x1 - 3 x2 - 2 x3 + 3 x4 = 3
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 3 0 -5 -2
    3 -3 -2 3 3
    Из уравнения 4 вычитаем уравнение 1, умноженное на 3.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    3 x2 - 5 x4 = -2
    3 x2 + x3 - 6 x4 = -3
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 3 0 -5 -2
    0 3 1 -6 -3
  • Исключим переменную x2 из всех уравнений, расположенных ниже уравнения 2.
  • К уравнению 3 прибавим уравнение 2.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    x3 - x4 = -1
    3 x2 + x3 - 6 x4 = -3
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 0 1 -1 -1
    0 3 1 -6 -3
    К уравнению 4 прибавим уравнение 2.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    x3 - x4 = -1
    2 x3 - 2 x4 = -2
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 0 1 -1 -1
    0 0 2 -2 -2
  • Исключим переменную x3 из последнего уравнения.
  • Из уравнения 4 вычитаем уравнение 3, умноженное на 2.
    Знак системы x1 - 2 x2 - x3 + 3 x4 = 2
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    x3 - x4 = -1
    Знак системы 1 -2 -1 3 2 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 0 1 -1 -1
    Если посмотреть на получившеюся систему, то видно, что она приведена к ступенчатому виду.
    Данное обстоятельство позволит последовательно найти значения переменных.
    Начнем с последнего уравнения.
  • Исключим переменную x3 из всех уравнений, за исключением последнего.
  • К уравнению 1 прибавим уравнение 3.
    Знак системы x1 - 2 x2 + 2 x4 = 1
    - 3 x2 + x3 + 4 x4 = 1
    x3 - x4 = -1
    Знак системы 1 -2 0 2 1 Знак системы
    0 -3 1 4 1
    0 0 1 -1 -1
    Из уравнения 2 вычитаем уравнение 3.
    Знак системы x1 - 2 x2 + 2 x4 = 1
    - 3 x2 + 5 x4 = 2
    x3 - x4 = -1
    Знак системы 1 -2 0 2 1 Знак системы
    0 -3 0 5 2
    0 0 1 -1 -1
    Коэффициенты уравнения 2 разделим на -3.
    Знак системы x1 - 2 x2 + 2 x4 = 1
    x2 - 5/3 x4 = -2/3
    x3 - x4 = -1
    Знак системы 1 -2 0 2 1 Знак системы
    0 1 0 -5/3 -2/3
    0 0 1 -1 -1
  • Исключим переменную x2 из первого уравнения.
  • К уравнению 1 прибавим уравнение 2, умноженное на 2.
    Знак системы x1 - 4/3 x4 = -1/3
    x2 - 5/3 x4 = -2/3
    x3 - x4 = -1
    Знак системы 1 0 0 -4/3 -1/3 Знак системы
    0 1 0 -5/3 -2/3
    0 0 1 -1 -1

    Ответ:

    x1 = 4/3 x4 - 1/3
    x2 = 5/3 x4 - 2/3
    x3 = x4 - 1
    x4 - свободная переменная.
    Выбрав для свободной переменной произвольное значение, можно получить частное решение данной системы.
    В данном случае, система имеет бесконечное множество решений.










    © 2010–2016
    По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


    Ссылки