Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №7. Решение системы уравнений методом Гаусса (множество решений).

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Решить систему уравнений методом Гаусса.

Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
2 x1 - x2 - 3 x3 + x4 - x5 = -4
3 x1 + 2 x2 - x3 - 2 x4 - 5 x5 = 1
Решение:
Процесс решения системы уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.
Каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы (сравните сами).
Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.
  • Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
  • К уравнению 2 прибавим уравнение 1, умноженное на 2.
    Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    3 x2 - x3 - 7 x4 + 5 x5 = -2
    3 x1 + 2 x2 - x3 - 2 x4 - 5 x5 = 1
    Знак системы -1 2 1 -4 3 1 Знак системы
    0 3 -1 -7 5 -2
    3 2 -1 -2 -5 1
    К уравнению 3 прибавим уравнение 1, умноженное на 3.
    Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    3 x2 - x3 - 7 x4 + 5 x5 = -2
    8 x2 + 2 x3 - 14 x4 + 4 x5 = 4
    Знак системы -1 2 1 -4 3 1 Знак системы
    0 3 -1 -7 5 -2
    0 8 2 -14 4 4
  • Исключим переменную x2 из последнего уравнения.
  • Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2, умноженное на 3   (избегаем вычислений в дробях).
    Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    3 x2 - x3 - 7 x4 + 5 x5 = -2
    - x2 + 5 x3 + 7 x4 - 11 x5 = 10
    Знак системы -1 2 1 -4 3 1 Знак системы
    0 3 -1 -7 5 -2
    0 -1 5 7 -11 10
    Поменяем местами уравнения   2   и   3   (порядок уравнений в системе не имеет значения).
    Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    - x2 + 5 x3 + 7 x4 - 11 x5 = 10
    3 x2 - x3 - 7 x4 + 5 x5 = -2
    Знак системы -1 2 1 -4 3 1 Знак системы
    0 -1 5 7 -11 10
    0 3 -1 -7 5 -2
    К уравнению 3 прибавим уравнение 2, умноженное на 3.
    Знак системы - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    - x2 + 5 x3 + 7 x4 - 11 x5 = 10
    14 x3 + 14 x4 - 28 x5 = 28
    Знак системы -1 2 1 -4 3 1 Знак системы
    0 -1 5 7 -11 10
    0 0 14 14 -28 28
    Если посмотреть на получившеюся систему, то видно, что она приведена к ступенчатому виду.
    Данное обстоятельство позволит последовательно найти значения переменных.
    Начнем с последнего уравнения.
  • Рассмотрим уравнение 3 последней получившейся системы.
  • 14 x3 + 14 x4 - 28 x5 = 28
    Из данного уравнения найдем значение переменной x3.
    14 x3 = - 14 x4 + 28 x5 + 28
    x3 = - x4 + 2 x5 + 2
  • Рассмотрим уравнение 2 последней получившейся системы.
  • - x2 + 5 x3 + 7 x4 - 11 x5 = 10
    Из данного уравнения найдем значение переменной x2.
    - x2 = - 5 x3 - 7 x4 + 11 x5 + 10
    x2 = 5 x3 + 7 x4 - 11 x5 - 10
    Подставим, ранее найденное, значение переменной x3.
    x2 = 5 * (
    - x4 + 2 x5 + 2
    ) + 7 x4 - 11 x5 - 10
    x2 = 2 x4 - x5
  • Рассмотрим уравнение 1 последней получившейся системы.
  • - x1 + 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 = 1
    Из данного уравнения найдем значение переменной x1.
    - x1 = - 2 x2 - x3 + 4 x4 - 3 x5 + 1
    x1 = 2 x2 + x3 - 4 x4 + 3 x5 - 1
    Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 .
    x1 = 2 * (
    2 x4 - x5
    ) + (
    - x4 + 2 x5 + 2
    ) - 4 x4 + 3 x5 - 1
    x1 = - x4 + 3 x5 + 1

    Ответ:

    x1 = - x4 + 3 x5 + 1
    x2 = 2 x4 - x5
    x3 = - x4 + 2 x5 + 2
    x4 x5 - свободные переменные.
    Выбрав для свободных переменных произвольные значения, можно получить частное решение данной системы.
    В данном случае, система имеет бесконечное множество решений.










    © 2010–2016
    По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


    Ссылки