Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №10. Вычисление определителя матрицы третьего порядка.

Вычисление определителя матрицы.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Ниже представлены восемь вариантов вычисления определителя третьего порядка.
Как правило, первый вариант решения предпочтительнее.

1.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33
К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3. (Подробнее)
= -312 + ( -10) -10 =
-74 + ( -4) -4
2-3 + 33
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= -32-10 =
-70-4
203

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
-32-10
-70-4
203
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 2 *
-7-4
23
-32-10
-70-4
203
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-3-10
23
-32-10
-70-4
203
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 0 *
-3-10
-7-4
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 2 * -7-4=
23
= - 2 * -7-4=
23
= - 2 * ( -7 * 3 - ( -4) * 2 ) =
= - 2 * ( -21 + 8 ) =
= 26

2.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * -3 *
4-4
-33
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 12 *
-7-4
23
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * -10 *
-74
2-3
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * ( -3) * 4-4+
-33
( - 1 ) 1 + 2 * 12 * -7-4+
23
( - 1 ) 1 + 3 * ( -10) * -74=
2-3
= - 3 * 4-4
-33
- 12 * -7-4
23
- 10 * -74=
2-3
= - 3 * ( 4 * 3 - ( -4) * ( -3) ) - 12 * ( -7 * 3 - ( -4) * 2 ) - 10 * ( -7 * ( -3) - 4 * 2 ) =
= - 3 * ( 12 - 12 ) - 12 * ( -21 + 8 ) - 10 * ( 21 - 8 ) =
= 156 - 130 =
= 26

3.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * -7 *
12-10
-33
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 4 *
-3-10
23
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -4 *
-312
2-3
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 2 + 1 * ( -7) * 12-10+
-33
( - 1 ) 2 + 2 * 4 * -3-10+
23
( - 1 ) 2 + 3 * ( -4) * -312=
2-3
= 7 * 12-10
-33
+ 4 * -3-10
23
+ 4 * -312=
2-3
= 7 * ( 12 * 3 - ( -10) * ( -3) ) + 4 * ( -3 * 3 - ( -10) * 2 ) + 4 * ( -3 * ( -3) - 12 * 2 ) =
= 7 * ( 36 - 30 ) + 4 * ( -9 + 20 ) + 4 * ( 9 - 24 ) =
= 42 + 44 - 60 =
= 26

4.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 2 *
12-10
4-4
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * -3 *
-3-10
-7-4
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 3 *
-312
-74
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 3 + 1 * 2 * 12-10+
4-4
( - 1 ) 3 + 2 * ( -3) * -3-10+
-7-4
( - 1 ) 3 + 3 * 3 * -312=
-74
= 2 * 12-10
4-4
+ 3 * -3-10
-7-4
+ 3 * -312=
-74
= 2 * ( 12 * ( -4) - ( -10) * 4 ) + 3 * ( -3 * ( -4) - ( -10) * ( -7) ) + 3 * ( -3 * 4 - 12 * ( -7) ) =
= 2 * ( -48 + 40 ) + 3 * ( 12 - 70 ) + 3 * ( -12 + 84 ) =
= - 16 - 174 + 216 =
= 26

5.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * -3 *
4-4
-33
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * -7 *
12-10
-33
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 2 *
12-10
4-4
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * ( -3) * 4-4+
-33
( - 1 ) 2 + 1 * ( -7) * 12-10+
-33
( - 1 ) 3 + 1 * 2 * 12-10=
4-4
= - 3 * 4-4
-33
+ 7 * 12-10
-33
+ 2 * 12-10=
4-4
= - 3 * ( 4 * 3 - ( -4) * ( -3) ) + 7 * ( 12 * 3 - ( -10) * ( -3) ) + 2 * ( 12 * ( -4) - ( -10) * 4 ) =
= - 3 * ( 12 - 12 ) + 7 * ( 36 - 30 ) + 2 * ( -48 + 40 ) =
= 42 - 16 =
= 26

6.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 12 *
-7-4
23
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 4 *
-3-10
23
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * -3 *
-3-10
-7-4
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 12 * -7-4+
23
( - 1 ) 2 + 2 * 4 * -3-10+
23
( - 1 ) 3 + 2 * ( -3) * -3-10=
-7-4
= - 12 * -7-4
23
+ 4 * -3-10
23
+ 3 * -3-10=
-7-4
= - 12 * ( -7 * 3 - ( -4) * 2 ) + 4 * ( -3 * 3 - ( -10) * 2 ) + 3 * ( -3 * ( -4) - ( -10) * ( -7) ) =
= - 12 * ( -21 + 8 ) + 4 * ( -9 + 20 ) + 3 * ( 12 - 70 ) =
= 156 + 44 - 174 =
= 26

7.

det A =-312-10 =
-74-4
2-33

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
-312-10
-74-4
2-33
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * -10 *
-74
2-3
-312-10
-74-4
2-33
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -4 *
-312
2-3
-312-10
-74-4
2-33
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 3 *
-312
-74
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 3 * ( -10) * -74+
2-3
( - 1 ) 2 + 3 * ( -4) * -312+
2-3
( - 1 ) 3 + 3 * 3 * -312=
-74
= - 10 * -74
2-3
+ 4 * -312
2-3
+ 3 * -312=
-74
= - 10 * ( -7 * ( -3) - 4 * 2 ) + 4 * ( -3 * ( -3) - 12 * 2 ) + 3 * ( -3 * 4 - 12 * ( -7) ) =
= - 10 * ( 21 - 8 ) + 4 * ( 9 - 24 ) + 3 * ( -12 + 84 ) =
= - 130 - 60 + 216 =
= 26

8. Правило Саррюса

det A =-312-10 =
-74-4
2-33
-312-10( -3) * 4 * 3
-74-4
2-33
-312-10( -10) * 4 * 2
-74-4
2-33
-312-1012 * ( -4) * 2
-74-4
2-33
-312-1012 * ( -7) * 3
-74-4
2-33
-312-10( -10) * ( -7) * ( -3)
-74-4
2-33
-312-10( -3) * ( -4) * ( -3)
-74-4
2-33
Первые три произведения складываем. Из полученной суммы вычитаем оставшиеся три произведения.
Правило Саррюса необходимо просто запомнить.
Скрыть
= ( -3) * 4 * 3   +   12 * ( -4) * 2    +   ( -10) * ( -7) * ( -3)   -   ( -10) * 4 * 2   -   12 * ( -7) * 3   -   ( -3) * ( -4) * ( -3) =
= - 36 - 96 - 210 + 80 + 252 + 36 =
= 26










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки