Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №7. Вычисление определителя матрицы третьего порядка.

Вычисление определителя матрицы.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Ниже представлены восемь вариантов вычисления определителя третьего порядка.
Как правило, первый вариант решения предпочтительнее.

1.

det A =3-23 =
121
034
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1. (Подробнее)
= 3-23 - 3 =
121 - 1
034 - 0
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 3-20 =
120
034

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
3-20
120
034
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
12
03
3-20
120
034
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
3-2
03
3-20
120
034
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 4 *
3-2
12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 3 * 4 * 3-2=
12
= 4 * 3-2=
12
= 4 * ( 3 * 2 - ( -2) * 1 ) =
= 4 * ( 6 + 2 ) =
= 32

2.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
3-23
121
034
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 3 *
21
34
3-23
121
034
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * -2 *
11
04
3-23
121
034
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 3 *
12
03
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 3 * 21+
34
( - 1 ) 1 + 2 * ( -2) * 11+
04
( - 1 ) 1 + 3 * 3 * 12=
03
= 3 * 21
34
+ 2 * 11
04
+ 3 * 12=
03
= 3 * ( 2 * 4 - 1 * 3 ) + 2 * ( 1 * 4 - 1 * 0 ) + 3 * ( 1 * 3 - 2 * 0 ) =
= 3 * ( 8 - 3 ) + 2 * ( 4 - 0 ) + 3 * ( 3 - 0 ) =
= 15 + 8 + 9 =
= 32

3.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
3-23
121
034
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 1 *
-23
34
3-23
121
034
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 2 *
33
04
3-23
121
034
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 1 *
3-2
03
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 2 + 1 * 1 * -23+
34
( - 1 ) 2 + 2 * 2 * 33+
04
( - 1 ) 2 + 3 * 1 * 3-2=
03
= - -23
34
+ 2 * 33
04
- 3-2=
03
= - ( -2 * 4 - 3 * 3 ) + 2 * ( 3 * 4 - 3 * 0 ) - ( 3 * 3 - ( -2) * 0 ) =
= - ( -8 - 9 ) + 2 * ( 12 - 0 ) - ( 9 - 0 ) =
= 17 + 24 - 9 =
= 32

4.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
3-23
121
034
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 0 *
-23
21
3-23
121
034
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 3 *
33
11
3-23
121
034
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 4 *
3-2
12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 2 * 3 * 33+
11
( - 1 ) 3 + 3 * 4 * 3-2=
12
= - 3 * 33
11
+ 4 * 3-2=
12
= - 3 * ( 3 * 1 - 3 * 1 ) + 4 * ( 3 * 2 - ( -2) * 1 ) =
= - 3 * ( 3 - 3 ) + 4 * ( 6 + 2 ) =
= 32

5.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
3-23
121
034
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 3 *
21
34
3-23
121
034
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 1 *
-23
34
3-23
121
034
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 0 *
-23
21
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 3 * 21+
34
( - 1 ) 2 + 1 * 1 * -23=
34
= 3 * 21
34
- -23=
34
= 3 * ( 2 * 4 - 1 * 3 ) - ( -2 * 4 - 3 * 3 ) =
= 3 * ( 8 - 3 ) - ( -8 - 9 ) =
= 15 + 17 =
= 32

6.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
3-23
121
034
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * -2 *
11
04
3-23
121
034
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 2 *
33
04
3-23
121
034
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 3 *
33
11
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 2 * ( -2) * 11+
04
( - 1 ) 2 + 2 * 2 * 33+
04
( - 1 ) 3 + 2 * 3 * 33=
11
= 2 * 11
04
+ 2 * 33
04
- 3 * 33=
11
= 2 * ( 1 * 4 - 1 * 0 ) + 2 * ( 3 * 4 - 3 * 0 ) - 3 * ( 3 * 1 - 3 * 1 ) =
= 2 * ( 4 - 0 ) + 2 * ( 12 - 0 ) - 3 * ( 3 - 3 ) =
= 8 + 24 =
= 32

7.

det A =3-23 =
121
034

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
3-23
121
034
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 3 *
12
03
3-23
121
034
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 1 *
3-2
03
3-23
121
034
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 4 *
3-2
12
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 3 * 12+
03
( - 1 ) 2 + 3 * 1 * 3-2+
03
( - 1 ) 3 + 3 * 4 * 3-2=
12
= 3 * 12
03
- 3-2
03
+ 4 * 3-2=
12
= 3 * ( 1 * 3 - 2 * 0 ) - ( 3 * 3 - ( -2) * 0 ) + 4 * ( 3 * 2 - ( -2) * 1 ) =
= 3 * ( 3 - 0 ) - ( 9 - 0 ) + 4 * ( 6 + 2 ) =
= 9 - 9 + 32 =
= 32

8. Правило Саррюса

det A =3-23 =
121
034
3-233 * 2 * 4
121
034
3-233 * 2 * 0
121
034
3-23( -2) * 1 * 0
121
034
3-23( -2) * 1 * 4
121
034
3-233 * 1 * 3
121
034
3-233 * 1 * 3
121
034
Первые три произведения складываем. Из полученной суммы вычитаем оставшиеся три произведения.
Правило Саррюса необходимо просто запомнить.
Скрыть
= 3 * 2 * 4   +   ( -2) * 1 * 0    +   3 * 1 * 3   -   3 * 2 * 0   -   ( -2) * 1 * 4   -   3 * 1 * 3 =
= 24 + 0 + 9 - 0 + 8 - 9 =
= 32










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки