Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №10. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы x1 - 3 x2 - x3 = -4
- 2 x1 + 7 x2 + 2 x3 = 10
3 x1 + 2 x2 - 4 x3 = 9
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =1-3-1 =
-272
32-4
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 1-3-1 =
-2 + 1 * 27 + ( -3) * 22 + ( -1) * 2
32-4
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 1-3-1 =
010
32-4

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
1-3-1
010
32-4
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
-3-1
2-4
1-3-1
010
32-4
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 1 *
1-1
3-4
1-3-1
010
32-4
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
1-3
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 2 * 1 * 1-1=
3-4
= 1-1=
3-4
= 1 * ( -4) - ( -1) * 3 =
= -4 + 3 =
= -1
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =-4-3-1 =
1072
92-4
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= -4-3-1 =
10 + ( -4) * 27 + ( -3) * 22 + ( -1) * 2
92-4
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -4-3-1 =
210
92-4
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 2. (Подробнее)
= -4 - ( -3) * 2-3-1 =
2 - 1 * 210
9 - 2 * 22-4
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 2-3-1 =
010
52-4

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
2-3-1
010
52-4
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
-3-1
2-4
2-3-1
010
52-4
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 1 *
2-1
5-4
2-3-1
010
52-4
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
2-3
52
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 2 * 1 * 2-1=
5-4
= 2-1=
5-4
= 2 * ( -4) - ( -1) * 5 =
= -8 + 5 =
= -3

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =1-4-1 =
-2102
39-4
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 1-4-1 =
-2 + 1 * 210 + ( -4) * 22 + ( -1) * 2
39-4
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 1-4-1 =
020
39-4

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
1-4-1
020
39-4
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
-4-1
9-4
1-4-1
020
39-4
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 2 *
1-1
3-4
1-4-1
020
39-4
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
1-4
39
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 2 * 2 * 1-1=
3-4
= 2 * 1-1=
3-4
= 2 * ( 1 * ( -4) - ( -1) * 3 ) =
= 2 * ( -4 + 3 ) =
= -2

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =1-3-4 =
-2710
329
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 1-3-4 =
-2 + 1 * 27 + ( -3) * 210 + ( -4) * 2
329
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 1-3-4 =
012
329
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 2. (Подробнее)
= 1-3-4 - ( -3) * 2 =
012 - 1 * 2
329 - 2 * 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 1-32 =
010
325

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
1-32
010
325
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
-32
25
1-32
010
325
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 1 *
12
35
1-32
010
325
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
1-3
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 2 * 1 * 12=
35
= 12=
35
= 1 * 5 - 2 * 3 =
= 5 - 6 =
= -1

Ответ:

x1 = -3 / -1 = 3
x2 = -2 / -1 = 2
x3 = -1 / -1 = 1










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки