Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №4. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы x1 + 2 x2 + 2 x3 = 9
2 x1 + x2 - 2 x3 = 0
2 x1 - 2 x2 + x3 = 0
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =122 =
21-2
2-21
К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 2. (Подробнее)
= 1 + 22 + 12 + ( -2) =
21-2
2-21
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 330 =
21-2
2-21
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 2. (Подробнее)
= 3 - 330 =
2 - 11-2
2 - ( -2) -21
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 030 =
11-2
4-21

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
030
11-2
4-21
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 0 *
1-2
-21
030
11-2
4-21
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 3 *
1-2
41
030
11-2
4-21
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
11
4-2
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 3 * 1-2=
41
= - 3 * 1-2=
41
= - 3 * ( 1 * 1 - ( -2) * 4 ) =
= - 3 * ( 1 + 8 ) =
= -27
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =922 =
01-2
0-21

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
922
01-2
0-21
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 9 *
1-2
-21
922
01-2
0-21
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
22
-21
922
01-2
0-21
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 0 *
22
1-2
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 9 * 1-2=
-21
= 9 * 1-2=
-21
= 9 * ( 1 * 1 - ( -2) * ( -2) ) =
= 9 * ( 1 - 4 ) =
= -27

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =192 =
20-2
201

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
192
20-2
201
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 9 *
2-2
21
192
20-2
201
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
12
21
192
20-2
201
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 0 *
12
2-2
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 9 * 2-2=
21
= - 9 * 2-2=
21
= - 9 * ( 2 * 1 - ( -2) * 2 ) =
= - 9 * ( 2 + 4 ) =
= -54

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =129 =
210
2-20

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
129
210
2-20
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 9 *
21
2-2
129
210
2-20
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
12
2-2
129
210
2-20
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 0 *
12
21
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 9 * 21=
2-2
= 9 * 21=
2-2
= 9 * ( 2 * ( -2) - 1 * 2 ) =
= 9 * ( -4 - 2 ) =
= -54

Ответ:

x1 = -27 / -27 = 1
x2 = -54 / -27 = 2
x3 = -54 / -27 = 2










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки