Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №6. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы 2 x1 + 2 x2 - x3 = 7
2 x1 - x2 + 2 x3 = 1
- x1 + 2 x2 + 2 x3 = 1
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =22-1 =
2-12
-122
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2. (Подробнее)
= 2 - 22 - ( -1) -1 - 2 =
2-12
-122
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 03-3 =
2-12
-122
К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2. (Подробнее)
= 03-3 + 3 =
2-12 + ( -1)
-122 + 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 030 =
2-11
-124

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
030
2-11
-124
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 0 *
-11
24
030
2-11
-124
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 3 *
21
-14
030
2-11
-124
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
2-1
-12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 3 * 21=
-14
= - 3 * 21=
-14
= - 3 * ( 2 * 4 - 1 * ( -1) ) =
= - 3 * ( 8 + 1 ) =
= -27
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =72-1 =
1-12
122
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2. (Подробнее)
= 72-1 =
1-12
1 - 12 - ( -1) 2 - 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 72-1 =
1-12
030

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
72-1
1-12
030
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 0 *
2-1
-12
72-1
1-12
030
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 3 *
7-1
12
72-1
1-12
030
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 0 *
72
1-1
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 2 * 3 * 7-1=
12
= - 3 * 7-1=
12
= - 3 * ( 7 * 2 - ( -1) * 1 ) =
= - 3 * ( 14 + 1 ) =
= -45

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =27-1 =
212
-112
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3. (Подробнее)
= 27-1 =
2 - ( -1) 1 - 12 - 2
-112
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 27-1 =
300
-112

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
27-1
300
-112
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 3 *
7-1
12
27-1
300
-112
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
2-1
-12
27-1
300
-112
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
27
-11
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 1 * 3 * 7-1=
12
= - 3 * 7-1=
12
= - 3 * ( 7 * 2 - ( -1) * 1 ) =
= - 3 * ( 14 + 1 ) =
= -45

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =227 =
2-11
-121
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2. (Подробнее)
= 2 - 22 - ( -1) 7 - 1 =
2-11
-121
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 036 =
2-11
-121
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2, умноженные на 2. (Подробнее)
= 036 - 3 * 2 =
2-11 - ( -1) * 2
-121 - 2 * 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 030 =
2-13
-12-3

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
030
2-13
-12-3
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 0 *
-13
2-3
030
2-13
-12-3
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 3 *
23
-1-3
030
2-13
-12-3
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
2-1
-12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 3 * 23=
-1-3
= - 3 * 23=
-1-3
= - 3 * ( 2 * ( -3) - 3 * ( -1) ) =
= - 3 * ( -6 + 3 ) =
= 9

Ответ:

x1 = -45 / -27 = 5/3
x2 = -45 / -27 = 5/3
x3 = 9 / -27 = -1/3










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки