Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №8. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера.

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы - 2 x1 + 3 x2 + x3 = 2
3 x1 + 6 x2 + 2 x3 = 11
x1 + 2 x2 + x3 = 4
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =-231 =
362
121
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= -231 =
3 - 1 * 36 - 2 * 32 - 1 * 3
121
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -231 =
00-1
121

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
-231
00-1
121
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
31
21
-231
00-1
121
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-21
11
-231
00-1
121
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -1 *
-23
12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * ( -1) * -23=
12
= -23=
12
= -2 * 2 - 3 * 1 =
= -4 - 3 =
= -7
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =231 =
1162
421
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 231 =
11 - 2 * 26 - 3 * 22 - 1 * 2
421
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 231 =
700
421

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
231
700
421
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 7 *
31
21
231
700
421
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
21
41
231
700
421
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
23
42
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 1 * 7 * 31=
21
= - 7 * 31=
21
= - 7 * ( 3 * 1 - 1 * 2 ) =
= - 7 * ( 3 - 2 ) =
= -7

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =-221 =
3112
141
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= -221 =
3 - 1 * 311 - 4 * 32 - 1 * 3
141
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -221 =
0-1-1
141
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3. (Подробнее)
= -22 - 11 =
0-1 - ( -1) -1
14 - 11
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= -211 =
00-1
131

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
-211
00-1
131
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
11
31
-211
00-1
131
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-21
11
-211
00-1
131
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -1 *
-21
13
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * ( -1) * -21=
13
= -21=
13
= -2 * 3 - 1 * 1 =
= -6 - 1 =
= -7

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =-232 =
3611
124
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= -232 =
3 - 1 * 36 - 2 * 311 - 4 * 3
124
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -232 =
00-1
124

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
-232
00-1
124
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
32
24
-232
00-1
124
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-22
14
-232
00-1
124
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -1 *
-23
12
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * ( -1) * -23=
12
= -23=
12
= -2 * 2 - 3 * 1 =
= -4 - 3 =
= -7

Ответ:

x1 = -7 / -7 = 1
x2 = -7 / -7 = 1
x3 = -7 / -7 = 1










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки