|
Пример нахождение урвления прямой проходящей через две точки.
|
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Найти уравнение прямой проходящей через точки A (2, 2) и B (7, 5).
|
РЕШЕНИЕ:| Построим прямоугольную (декартову) систему координат . |
| В данной системе координат построим точки A (2, 2) и B (7, 5). |
| Соединим построенные точки - получим прямую, уравнение которой нам необходимо найти. |
|
| Получим уравнение прямой проходящей через две точки в общем виде.
Воспользуемся предыдущим рисунком, внеся в него следующие изменения:
точку A (2, 2) будем обозначать A (x1, y1), а точку B (7, 5) соответственно B (x2, y2). |
|
| | Для произвольной точки плоскости М (x, y) найдем условие, которое бы выполнялось, если точка М (x, y) принадлежит прямой AB, и не выполнялось, если точка М (x, y) не принадлежит прямой AB. |
| Нарисуем точку М (x, y) на прямой AB. |
|
| | Очевидно, что если точка М (x, y) принадлежит прямой, |
| то векторы | | и | | параллельны. (они лежат на одной прямой) | | AM | AB |
| Если точка М (x, y) не принадлежит прямой, то векторы | | и | | не параллельны. | | AM | AB |
| Можно выбрать любую пару векторов, но данный выбор удобнее. |
| Запишем данное условие аналитически, т.е. в виде формулы. |
| Найдем координаты рассматриваемых векторов. |
| Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны. Запишем пропорцию. |
| x - x1 |
= |
y - y1 |
(1) |
|
|
| x2 - x1 |
y2 - y1 |
| Мы получили уравнение прямой проходящей через две произвольные точки A и B (1). |
| Ответ очень простой. В знаменателях уравнения (1) стоят координаты вектора | | , | | AB | | который параллелен нашей прямой. |
| Вектор | | называется направляющим вектором прямой. | | AB |
| (направляющий вектор принято обозначать | | ) | | S | | При решении задач, достаточно часто встречается ситуация, когда нам известны координаты одной точки прямой и направляющий вектор прямой (т.е. координаты вектора которому параллельна искомая прямая). Уравнение прямой (1) позволяет мгновенно написать уравнение прямой в данной ситуации. |
| На что стоит обратить внимание в уравнении (1) ? |
| Очевидно, знаменатели уравнения (1) не могут обращаться в ноль, т.е. данное уравнение невозможно применить для прямых параллельных осям координат. |
|
| | Вернемся к нашей исходной задаче. |
| Подставим координаты точек A (2, 2) и B (7, 5) в полученное уравнение прямой (1). |
| x - 2 |
= |
y - 2 |
|
|
|
| 7 - 2 |
5 - 2 |
| Главное, что необходимо запомнить: |
| В знаменателях уравнения (2) стоят числа 5 и 3. |
| Вектор | | = (5, 3) называется направляющим вектором прямой AB. | | S |
| Вектор | | = (5, 3) параллелен прямой AB. | | S |
| 3 ( x - 2 ) = 5 ( y - 2 ) |
| Мы не будем доказывать следующее утверждение, но запомнить его необходимо: |
| Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой (3) равны 3 и -5. |
| Вектор | | = (3, -5) называется нормальным вектором прямой AB. | | N |
| Вектор | | = (3, -5) перпендикулярен прямой AB. | | N |
| Вектор | | = (3, -5) перпендикулярен вектору | | = (5, 3). | | N | S |
| Как правило, при решении задач используются обе формы записи (2) и (3) уравнения прямой проходящей через две точки. |
| Почему векторы нарисованы не в масштабе? |
| Коэффициенты в уравнении прямой могут быть достаточно большими. И вектор элементарно не поместится на рисунке. |
| Почему векторы нарисованы не из центра координат? |
| В математике, вектор характеризуется двумя факторами: направлением и длиной. Абсолютно безразлично, в какой точке вектор имеет свое начало. |
|
| Замечание : векторы | | и | | нарисованы не в масштабе. | | S | N | |
|
