Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом алгебраических дополнений

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Пример №1. Нахождение обратной матрицы второго порядка методом алгебраических дополнений
Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом алгебраических дополнений
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Задача:
Найти матрицу A -1, обратную матрице А.
A = Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 a13 Знак системы
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде:
A-1 = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, обратная матрица A -1 существует, если det A не равен нулю!!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 234 =
321
211
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 2 - 2 * 33 - 1 * 34 - 1 * 3 =
321
211
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -401 =
321
211
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= -401 =
3 - 2 * 22 - 1 * 21 - 1 * 2
211
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -401 =
-10-1
211

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
-401
-10-1
211
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 0 *
-1-1
21
-401
-10-1
211
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-41
21
-401
-10-1
211
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 1 *
-41
-1-1
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 2 * 1 * -41=
-1-1
= - -41=
-1-1
= - ( -4 * ( -1) - 1 * ( -1) ) =
= - ( 4 + 1 ) =
= -5
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = 21   =   2 * 1 - 1 * 1   =   2 - 1   =   1
11
A11 = M11 = 1

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 31   =   3 * 1 - 1 * 2   =   3 - 2   =   1
21
A12 = - M12 = -1

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.

Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 4 * M 13 = 1 * M 13 = M 13
M 13 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.
M13 = 32   =   3 * 1 - 2 * 2   =   3 - 4   =   -1
21
A13 = M13 = -1

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 34   =   3 * 1 - 4 * 1   =   3 - 4   =   -1
11
A21 = - M21 = 1

2.5. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 24   =   2 * 1 - 4 * 2   =   2 - 8   =   -6
21
A22 = M22 = -6

2.6. Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.

Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 5 * M 23 = - 1 * M 23 = - M 23
M 23 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.
M23 = 23   =   2 * 1 - 3 * 2   =   2 - 6   =   -4
21
A23 = - M23 = 4

2.7. Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.

Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 4 * M 31 = 1 * M 31 = M 31
M 31 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.
M31 = 34   =   3 * 1 - 4 * 2   =   3 - 8   =   -5
21
A31 = M31 = -5

2.8. Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.

Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 5 * M 32 = - 1 * M 32 = - M 32
M 32 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.
M32 = 24   =   2 * 1 - 4 * 3   =   2 - 12   =   -10
31
A32 = - M32 = 10

2.9. Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.

Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 6 * M 33 = 1 * M 33 = M 33
M 33 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.
M33 = 23   =   2 * 2 - 3 * 3   =   4 - 9   =   -5
32
A33 = M33 = -5

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A-1 = 1 / det A Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A -1 = - 1 / 5 Знак системы 1 1 -5 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
-1 -6 10
-1 4 -5

Ответ:

A -1 = Знак системы -1/5 -1/5 1 Знак системы
1/5 6/5 -2
1/5 -4/5 1

4. Выполним проверку.

A * A -1 = - 1 / 5 Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
*
Знак системы 1 1 -5 Знак системы
-1 -6 10
-1 4 -5
=
= - 1 / 5 Знак системы -5 0 0 Знак системы
0 -5 0
0 0 -5
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1
A -1 * A = - 1 / 5 Знак системы 1 1 -5 Знак системы
-1 -6 10
-1 4 -5
*
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
=
= - 1 / 5 Знак системы -5 0 0 Знак системы
0 -5 0
0 0 -5
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1









© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки