Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №4. Нахождение обратной матрицы третьего порядка методом алгебраических дополнений.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Найти матрицу A -1, обратную матрице А.
A = Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 a13 Знак системы
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде:
A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, если det A равен нулю, то обратная матрица A -1 НЕ существует !!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица НЕ существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 357 =
634
5-2-3
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2. (Подробнее)
= 357 - 5 =
634 - 3
5-2-3 - ( -2)
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 352 =
631
5-2-1
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 35 - 2 * 32 =
63 - 1 * 31
5-2 - ( -1) * 3-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 3-12 =
601
51-1
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1. (Подробнее)
= 3-12 =
601
5 + 31 + ( -1) -1 + 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 3-12 =
601
801

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
3-12
601
801
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * -1 *
61
81
3-12
601
801
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
32
81
3-12
601
801
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 0 *
32
61
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * ( -1) * 61=
81
= 61=
81
= 6 * 1 - 1 * 8 =
= 6 - 8 =
= -2
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = 34   =   3 * ( -3) - 4 * ( -2)   =   -9 - ( -8)   =   -1
-2-3
A11 = M11 = -1

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 64   =   6 * ( -3) - 4 * 5   =   -18 - 20   =   -38
5-3
A12 = - M12 = 38

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.

Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 4 * M 13 = 1 * M 13 = M 13
M 13 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.
M13 = 63   =   6 * ( -2) - 3 * 5   =   -12 - 15   =   -27
5-2
A13 = M13 = -27

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 57   =   5 * ( -3) - 7 * ( -2)   =   -15 - ( -14)   =   -1
-2-3
A21 = - M21 = 1

2.5. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 37   =   3 * ( -3) - 7 * 5   =   -9 - 35   =   -44
5-3
A22 = M22 = -44

2.6. Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.

Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 5 * M 23 = - 1 * M 23 = - M 23
M 23 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.
M23 = 35   =   3 * ( -2) - 5 * 5   =   -6 - 25   =   -31
5-2
A23 = - M23 = 31

2.7. Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.

Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 4 * M 31 = 1 * M 31 = M 31
M 31 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.
M31 = 57   =   5 * 4 - 7 * 3   =   20 - 21   =   -1
34
A31 = M31 = -1

2.8. Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.

Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 5 * M 32 = - 1 * M 32 = - M 32
M 32 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.
M32 = 37   =   3 * 4 - 7 * 6   =   12 - 42   =   -30
64
A32 = - M32 = 30

2.9. Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.

Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 6 * M 33 = 1 * M 33 = M 33
M 33 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.
M33 = 35   =   3 * 3 - 5 * 6   =   9 - 30   =   -21
63
A33 = M33 = -21

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A -1 = - 1 / 2 * Знак системы -1 1 -1 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
38 -44 30
-27 31 -21

Ответ:

A -1 = Знак системы 1/2 -1/2 1/2 Знак системы
-19 22 -15
27/2 -31/2 21/2

4. Выполним проверку.

A * A -1 = - 1 / 2 * Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
*
Знак системы -1 1 -1 Знак системы
38 -44 30
-27 31 -21
=
= - 1 / 2 * Знак системы -2 0 0 Знак системы
0 -2 0
0 0 -2
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1
A -1 * A = - 1 / 2 * Знак системы -1 1 -1 Знак системы
38 -44 30
-27 31 -21
*
Знак системы 3 5 7 Знак системы
6 3 4
5 -2 -3
=
= - 1 / 2 * Знак системы -2 0 0 Знак системы
0 -2 0
0 0 -2
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки