Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №9. Нахождение обратной матрицы второго порядка методом алгебраических дополнений.

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Найти матрицу A -1, обратную матрице А.
A = Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 Знак системы
a21 a22
Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде:
A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 Знак системы
A12 A22
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, если det A равен нулю, то обратная матрица A -1 НЕ существует !!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица НЕ существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 4.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 15   =   1 * ( -2) - 5 * 2   =   -2 - 10   =   -12
2-2
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = -2
A11 = M11 = -2

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 2
A12 = - M12 = -2

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 5
A21 = - M21 = -5

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 1
A22 = M22 = 1

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 Знак системы
A12 A22
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A -1 = - 1 / 12 * Знак системы -2 -5 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
-2 1

Ответ:

A -1 = Знак системы 1/6 5/12 Знак системы
1/6 -1/12

4. Выполним проверку.

A * A -1 = - 1 / 12 * Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
*
Знак системы -2 -5 Знак системы
-2 1
=
= - 1 / 12 * Знак системы -12 0 Знак системы
0 -12
=
Знак системы 1 0 Знак системы = E
0 1
A -1 * A = - 1 / 12 * Знак системы -2 -5 Знак системы
-2 1
*
Знак системы 1 5 Знак системы
2 -2
=
= - 1 / 12 * Знак системы -12 0 Знак системы
0 -12
=
Знак системы 1 0 Знак системы = E
0 1










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки