Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №1. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три точки.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пример №1. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три точки.
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Найдем уравнение плоскости проходящей через точки три заданные точки.
M1 = ( 3, 4, -3 )
M2 = ( 2, 1, 2 )
M3 = ( 3, 4, 1 )
Возьмем произвольную точку М (x ,y ,z).
Найдем координаты следующих векторов:
M3M = ( x - 3 , y - 4 , z - 1 )
M3M1 = ( 3 - 3 , 4 - 4 , -3 - 1 ) = ( 0, 0, -4 )
M3M2 = ( 2 - 3 , 1 - 4 , 2 - 1 ) = ( -1, -3, 1 )
Если произвольная точка М (x ,y ,z) принадлежит искомой плоскости, тогда три найденные вектора лежат в одной плоскости.
Данное условие записывается следующим образом:
x - 3 y - 4 z - 1 = 0
00-4
-1-31
Представим определитель в виде разности двух определителей.
x - 3 y - 4 z - 1 =
00-4
-1-31
x y z
00-4
-1-31
-
341 =
00-4
-1-31
Первый определитель разлагаем по элементам первой строке.
= x * 0-4
-31
-
y * 0-4
-11
+
z * 00
-1-3
-
341 =
00-4
-1-31
= x * det A - y * det B + z * det C - det D = 0
Очевидно, необходимо найти значения четырех определителей.
det A = 0-4   =   0 * 1 - ( -4) * ( -3)   =   0 - 12   =   -12
-31
det B = 0-4   =   0 * 1 - ( -4) * ( -1)   =   0 - 4   =   -4
-11
det C = 00   =   0 * ( -3) - 0 * ( -1)   =   0 - 0   =   0
-1-3

det D = 341 =
00-4
-1-31

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
341
00-4
-1-31
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
41
-31
341
00-4
-1-31
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
31
-11
341
00-4
-1-31
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * -4 *
34
-1-3
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 2 + 3 * ( -4) * 34=
-1-3
= 4 * 34=
-1-3
= 4 * ( 3 * ( -3) - 4 * ( -1) ) =
= 4 * ( -9 + 4 ) =
= -20

Подставим найденные значения определителей и получим уравнение плоскости.

- 12 x + 4 y + 20 = 0

Сократим и получим окончательный ответ.

- 3 x + y + 5 = 0






© 2010–2015


Ссылки