Решение задач по математике онлайн

Программы для решения типовых задач по высшей математике

Главная

Ссылки
Главная   >   Пример №1. Пример №1. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три точки

Пример №1. Нахождение уравнения плоскости, проходящей через три точки.




Данное решение является примером работы программы, представленной на сайте.

Перейти к решению своей задачи


Найдем уравнение плоскости проходящей через точки три заданные точки.
M1 = ( 1, -2, -3 )
M2 = ( -1, 2, 1 )
M3 = ( 1, 2, 3 )
Возьмем произвольную точку М (x ,y ,z).
Найдем координаты следующих векторов.
= ( x - 1 , y - 2 , z - 3 )
M3M
= ( 1 - 1 , -2 - 2 , -3 - 3 ) = ( 0, -4, -6 )
M3M1
= ( -1 - 1 , 2 - 2 , 1 - 3 ) = ( -2, 0, -2 )
M3M2
Если произвольная точка М (x ,y ,z) принадлежит искомой плоскости, то три найденные вектора лежат в одной плоскости.
Данное условие записывается следующим образом:

  x - 1 y - 2 z - 3       = 0
0 -4 -6
-2 0 -2
Представим данный определитель в виде разности двух определителей. ( ? )
  x - 1 y - 2 z - 3       =
0 -4 -6
-2 0 -2
  x y z       -
0 -4 -6
-2 0 -2
  1 2 3      =
0 -4 -6
-2 0 -2
Первый определитель разлагаем по первой строке. (подробнее)
=       x *   -4 -6 
0 -2
-     y *   0 -6 
-2 -2
+     z *   0 -4 
-2 0
-      1 2 3      =
0 -4 -6
-2 0 -2

= x * det A - y * det B + z * det C - det D = 0




det A =     -4 -6    =   ( -4) * ( -2) - ( -6) * 0   =   8 - 0   =   8
0 -2


det B =     0 -6    =   0 * ( -2) - ( -6) * ( -2)   =   0 - 12   =   -12
-2 -2


det C =     0 -4    =   0 * 0 - ( -4) * ( -2)   =   0 - 8   =   -8
-2 0


det D =     1 2 3  =
0 -4 -6
-2 0 -2

К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. ( ? )

=     1 2 3  =
2 0 0
-2 0 -2

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (подробнее)

=   - 2 *   2 3  =
0 -2

= - 2 * ( 2 * ( -2) - 3 * 0 ) =

= - 2 * ( -4 - 0 ) =

= 8


Подставим найденные значения определителей и получим уравнение плоскости.

8 x + 12 y - 8 z - 8 = 0

Разделим коэффициенты уравнения на 4.
Окончательно получим искомое уравнение плоскости.

2 x + 3 y - 2 z - 2 = 0


Перейти к решению своей задачи



Copyright © 2010-2014, www.reshmat.ru
При копировании материалов ссылка на сайт www.reshmat.ru обязательна.
почта: matematika1974@yandex.ru
Рейтинг.ru