Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений



Квадратная матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполнено условие: А*A-1=A-1*A=E, где Е - единичная матрица. Существуют два способа нахождения обратной матрицы: метод Гаусса и метод алгебраических дополнений.
Если матрица задана целыми числами до 10, то обычно применяют метод алгебраических дополнений.
Да, решение, которое предоставит вам программа длинное, но при определенном опыте большинство действий можно будет выполнять в уме. Вы можете ознакомиться с примерами работы программы приведенными ниже.
Введите целые числа.
Например: -12, -5, 2, 10.
A =
Новые размеры матрицы

Задача:
Найти матрицу A-1, обратную матрице А.
A = Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 Знак системы
a21 a22
Обратную матрицу A-1 будем искать в следующем виде:
A-1 = 1 / det A * Знак системы A11 A21 Знак системы
A12 A22
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, обратная матрица A -1 существует, если det A не равен нулю!!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 4.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 21   =   2 * 3 - 1 * 4   =   6 - 4   =   2
43
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = 3
A11 = M11 = 3

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 4
A12 = - M12 = -4

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 1
A21 = - M21 = -1

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 2
A22 = M22 = 2

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A-1 = 1 / det A Знак системы A11 A21 Знак системы
A12 A22
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A-1 = 1/2 Знак системы 3 -1 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
-4 2

Ответ:

A-1 = Знак системы 3/2 -1/2 Знак системы
-2 1

4. Выполним проверку.

A * A -1 = 1/2 Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
*
Знак системы 3 -1 Знак системы
-4 2
=
= 1/2 Знак системы 2 0 Знак системы
0 2
=
Знак системы 1 0 Знак системы = E
0 1
A-1 * A = 1/2 Знак системы 3 -1 Знак системы
-4 2
*
Знак системы 2 1 Знак системы
4 3
=
= 1/2 Знак системы 2 0 Знак системы
0 2
=
Знак системы 1 0 Знак системы = E
0 1







© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки