Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Квадратная матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполнено условие: А*A-1=A-1*A=E, где Е - единичная матрица. Существуют два способа нахождения обратной матрицы: метод Гаусса и метод алгебраических дополнений.
Если матрица задана целыми числами до 10, то обычно применяют метод алгебраических дополнений.
Да, решение, которое предоставит вам программа длинное, но при определенном опыте большинство действий можно будет выполнять в уме. Вы можете ознакомиться с примерами работы программы приведенными ниже.
Введите целые числа.
Например: -12, -5, 2, 10.
A =
Новые размеры матрицы

Задача:
Найти матрицу A-1, обратную матрице А.
A = Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 a13 Знак системы
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Обратную матрицу A-1 будем искать в следующем виде:
A-1 = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, обратная матрица A -1 существует, если det A не равен нулю!!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель не равен нулю, то обратная матрица существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 234 =
321
211
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 2 - 2 * 33 - 1 * 34 - 1 * 3 =
321
211
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -401 =
321
211
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= -401 =
3 - 2 * 22 - 1 * 21 - 1 * 2
211
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= -401 =
-10-1
211

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
-401
-10-1
211
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 0 *
-1-1
21
-401
-10-1
211
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
-41
21
-401
-10-1
211
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 1 *
-41
-1-1
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 2 * 1 * -41=
-1-1
= - -41=
-1-1
= - ( -4 * ( -1) - 1 * ( -1) ) =
= - ( 4 + 1 ) =
= -5
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = 21   =   2 * 1 - 1 * 1   =   2 - 1   =   1
11
A11 = M11 = 1

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 31   =   3 * 1 - 1 * 2   =   3 - 2   =   1
21
A12 = - M12 = -1

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.

Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 4 * M 13 = 1 * M 13 = M 13
M 13 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.
M13 = 32   =   3 * 1 - 2 * 2   =   3 - 4   =   -1
21
A13 = M13 = -1

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 34   =   3 * 1 - 4 * 1   =   3 - 4   =   -1
11
A21 = - M21 = 1

2.5. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 24   =   2 * 1 - 4 * 2   =   2 - 8   =   -6
21
A22 = M22 = -6

2.6. Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.

Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 5 * M 23 = - 1 * M 23 = - M 23
M 23 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.
M23 = 23   =   2 * 1 - 3 * 2   =   2 - 6   =   -4
21
A23 = - M23 = 4

2.7. Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.

Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 4 * M 31 = 1 * M 31 = M 31
M 31 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.
M31 = 34   =   3 * 1 - 4 * 2   =   3 - 8   =   -5
21
A31 = M31 = -5

2.8. Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.

Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 5 * M 32 = - 1 * M 32 = - M 32
M 32 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.
M32 = 24   =   2 * 1 - 4 * 3   =   2 - 12   =   -10
31
A32 = - M32 = 10

2.9. Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.

Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 6 * M 33 = 1 * M 33 = M 33
M 33 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.
M33 = 23   =   2 * 2 - 3 * 3   =   4 - 9   =   -5
32
A33 = M33 = -5

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A-1 = 1 / det A Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A-1 = - 1/5 Знак системы 1 1 -5 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
-1 -6 10
-1 4 -5

Ответ:

A-1 = Знак системы -1/5 -1/5 1 Знак системы
1/5 6/5 -2
1/5 -4/5 1

4. Выполним проверку.

A * A -1 = - 1/5 Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
*
Знак системы 1 1 -5 Знак системы
-1 -6 10
-1 4 -5
=
= - 1/5 Знак системы -5 0 0 Знак системы
0 -5 0
0 0 -5
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1
A-1 * A = - 1/5 Знак системы 1 1 -5 Знак системы
-1 -6 10
-1 4 -5
*
Знак системы 2 3 4 Знак системы
3 2 1
2 1 1
=
= - 1/5 Знак системы -5 0 0 Знак системы
0 -5 0
0 0 -5
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1









© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки