Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений

Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений.

Если матрица задана целыми числами, то только данный способ решения позволяет находить обратные матрицы второго и третьего порядка практически в уме.
Обратная матрица существует только у квадратных матриц.
Квадратная матрица A-1 называется обратной матрице A, если выполнено условие:
A-1 * A = A * A-1 = E,     где   E - единичная матрица.
Данная программа подробно описывает процесс нахождения обратной матрицы.
Вы можете ознакомиться с примерами работы программы приведенными ниже.
Введите целые числа.
Например: -12, -5, 2, 10.
A =
новые размеры матрицы

Задача:
Найти матрицу A -1, обратную матрице А.
A = Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Решение:
Будем обозначать элементы матрицы A маленькими буквами аij .
Первый индекс i - номер строки, где находится элемент матрицы аij .
Второй индекс j - номер столбца, где находится элемент матрицы аij .
A = Знак системы a11 a12 a13 Знак системы
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Обратную матрицу A -1 будем искать в следующем виде:
A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A ij - алгебраическое дополнение элемента матрицы a ij , то есть число, вычисляемое по определенным правилам.
Как именно, рассмотрим позже.
det A - определитель матрицы A.
Обратите внимание на множитель 1 / det A, стоящей перед матрицей.
Очевидно, если det A равен нулю, то обратная матрица A -1 НЕ существует !!
План решения:
1. Находим определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица НЕ существует.
2. Для каждого элемента a i j матрицы А находим алгебраическое дополнение A i j . Всего их 9.
3. Записываем обратную матрицу.
4. Выполним проверку.

1. Найдем определитель матрицы А.

det A = 32-5 =
2-13
12-1
Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 3 - 1 * 32 - 2 * 3-5 - ( -1) * 3 =
2-13
12-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 0-4-2 =
2-13
12-1
Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= 0-4-2 =
2 - 1 * 2-1 - 2 * 23 - ( -1) * 2
12-1
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 0-4-2 =
0-55
12-1

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
0-4-2
0-55
12-1
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 0 *
-55
2-1
0-4-2
0-55
12-1
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 0 *
-4-2
2-1
0-4-2
0-55
12-1
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 1 *
-4-2
-55
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 1 * 1 * -4-2=
-55
= -4-2=
-55
= -4 * 5 - ( -2) * ( -5) =
= -20 - 10 =
= -30
Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, обратная матрица A-1 существует.

2.1. Найдем алгебраическое дополнение A11 элемента a11.

Элемент a11 находится на пересечении строки 1 и столбца 1.
A11 = ( -1 ) 1+1 * M 11 = ( -1 ) 2 * M 11 = 1 * M 11 = M 11
M 11 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M11 элемента a11.
M11 = -13   =   -1 * ( -1) - 3 * 2   =   1 - 6   =   -5
2-1
A11 = M11 = -5

2.2. Найдем алгебраическое дополнение A12 элемента a12.

Элемент a12 находится на пересечении строки 1 и столбца 2.
A12 = ( -1 ) 1+2 * M 12 = ( -1 ) 3 * M 12 = - 1 * M 12 = - M 12
M 12 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M12 элемента a12.
M12 = 23   =   2 * ( -1) - 3 * 1   =   -2 - 3   =   -5
1-1
A12 = - M12 = 5

2.3. Найдем алгебраическое дополнение A13 элемента a13.

Элемент a13 находится на пересечении строки 1 и столбца 3.
A13 = ( -1 ) 1+3 * M 13 = ( -1 ) 4 * M 13 = 1 * M 13 = M 13
M 13 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 3.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M13 элемента a13.
M13 = 2-1   =   2 * 2 - ( -1) * 1   =   4 - ( -1)   =   5
12
A13 = M13 = 5

2.4. Найдем алгебраическое дополнение A21 элемента a21.

Элемент a21 находится на пересечении строки 2 и столбца 1.
A21 = ( -1 ) 2+1 * M 21 = ( -1 ) 3 * M 21 = - 1 * M 21 = - M 21
M 21 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 1.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M21 элемента a21.
M21 = 2-5   =   2 * ( -1) - ( -5) * 2   =   -2 - ( -10)   =   8
2-1
A21 = - M21 = -8

2.5. Найдем алгебраическое дополнение A22 элемента a22.

Элемент a22 находится на пересечении строки 2 и столбца 2.
A22 = ( -1 ) 2+2 * M 22 = ( -1 ) 4 * M 22 = 1 * M 22 = M 22
M 22 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 2.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M22 элемента a22.
M22 = 3-5   =   3 * ( -1) - ( -5) * 1   =   -3 - ( -5)   =   2
1-1
A22 = M22 = 2

2.6. Найдем алгебраическое дополнение A23 элемента a23.

Элемент a23 находится на пересечении строки 2 и столбца 3.
A23 = ( -1 ) 2+3 * M 23 = ( -1 ) 5 * M 23 = - 1 * M 23 = - M 23
M 23 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 2 и столбец 3.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M23 элемента a23.
M23 = 32   =   3 * 2 - 2 * 1   =   6 - 2   =   4
12
A23 = - M23 = -4

2.7. Найдем алгебраическое дополнение A31 элемента a31.

Элемент a31 находится на пересечении строки 3 и столбца 1.
A31 = ( -1 ) 3+1 * M 31 = ( -1 ) 4 * M 31 = 1 * M 31 = M 31
M 31 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 1.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M31 элемента a31.
M31 = 2-5   =   2 * 3 - ( -5) * ( -1)   =   6 - 5   =   1
-13
A31 = M31 = 1

2.8. Найдем алгебраическое дополнение A32 элемента a32.

Элемент a32 находится на пересечении строки 3 и столбца 2.
A32 = ( -1 ) 3+2 * M 32 = ( -1 ) 5 * M 32 = - 1 * M 32 = - M 32
M 32 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 2.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M32 элемента a32.
M32 = 3-5   =   3 * 3 - ( -5) * 2   =   9 - ( -10)   =   19
23
A32 = - M32 = -19

2.9. Найдем алгебраическое дополнение A33 элемента a33.

Элемент a33 находится на пересечении строки 3 и столбца 3.
A33 = ( -1 ) 3+3 * M 33 = ( -1 ) 6 * M 33 = 1 * M 33 = M 33
M 33 = ?
В матрице А вычеркиваем строку 3 и столбец 3.
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
Определитель, состоящий из оставшихся элементов матрицы А, называется минором M33 элемента a33.
M33 = 32   =   3 * ( -1) - 2 * 2   =   -3 - 4   =   -7
2-1
A33 = M33 = -7

3. Теперь можем записать обратную матрицу.

A = 1 / det A * Знак системы A11 A21 A31 Знак системы
A12 A22 A32
A13 A23 A33
Обратите внимание на расположение алгебраических дополнений в обратной матрице!!
A -1 = - 1 / 30 * Знак системы -5 -8 1 Знак системы - во многих задачах удобнее пользоваться данной записью, а не конечным ответом.
5 2 -19
5 -4 -7

Ответ:

A -1 = Знак системы 1/6 4/15 -1/30 Знак системы
-1/6 -1/15 19/30
-1/6 2/15 7/30

4. Выполним проверку.

A * A -1 = - 1 / 30 * Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
*
Знак системы -5 -8 1 Знак системы
5 2 -19
5 -4 -7
=
= - 1 / 30 * Знак системы -30 0 0 Знак системы
0 -30 0
0 0 -30
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1
A -1 * A = - 1 / 30 * Знак системы -5 -8 1 Знак системы
5 2 -19
5 -4 -7
*
Знак системы 3 2 -5 Знак системы
2 -1 3
1 2 -1
=
= - 1 / 30 * Знак системы -30 0 0 Знак системы
0 -30 0
0 0 -30
=
Знак системы 1 0 0 Знак системы = E
0 1 0
0 0 1








© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки