Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.

Пример №1. Решение системы линейных уравнений второго порядка методом Крамера

Решим систему линейных уравнений, используя метод Крамера.

		x₁	+	2	x₂	-	2	x₃	=	-8
-	3	x₁	-	3	x₂	+	3	x₃	=	18
	-	x₁	-	2	x₂	+	3	x₃	=	5

Запишем формулы Крамера:

x₁ = det A₁ / det A

x₂ = det A₂ / det A

x₃ = det A₃ / det A

На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то использовать формулы Крамера невозможно.

Вычислим det A. подробнее

det A состоит из коэффициентов левой части системы уравнений.

		x₁	+	2	x₂	-	2	x₃	=	-8
-	3	x₁	-	3	x₂	+	3	x₃	=	18
	-	x₁	-	2	x₂	+	3	x₃	=	5

det A =	1	2	-2	=
	-3	-3	3
	-1	-2	3

К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1. подробнее

1	2	-2
-3	-3	3
-1 + 1	-2 + 2	3 + ( -2)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	2	-2	=
	-3	-3	3
	0	0	1

Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее

1	2	-2
-3	-3	3
0	0	1

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

		2	-2
		-3	3

1	2	-2
-3	-3	3
0	0	1

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		1	-2
		-3	3

1	2	-2
-3	-3	3
0	0	1

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		1	2
		-3	-3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 3} * 1 *		1	2		=
		-3	-3

=		1	2		=
		-3	-3

= 1 * ( -3) - 2 * ( -3) =

= -3 + 6 =

= 3

det A не равен нулю. Использование формул Крамера возможно.

Вычислим det A₁ подробнее

Необходимо заменить столбец 1 в det A на столбец свободных членов системы.

Система

det A

det A₁

		x₁	+	2	x₂	-	2	x₃	=	-8
-	3	x₁	-	3	x₂	+	3	x₃	=	18
	-	x₁	-	2	x₂	+	3	x₃	=	5

1	2	-2
-3	-3	3
-1	-2	3

-8	2	-2
18	-3	3
5	-2	3

det A₁ =	-8	2	-2	=
	18	-3	3
	5	-2	3

К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2. подробнее

-8	2	-2 + 2
18	-3	3 + ( -3)
5	-2	3 + ( -2)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	-8	2	0	=
	18	-3	0
	5	-2	1

Разложим определитель по элементам столбца 3. подробнее

-8	2	0
18	-3	0
5	-2	1

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

		18	-3
		5	-2

-8	2	0
18	-3	0
5	-2	1

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		-8	2
		5	-2

-8	2	0
18	-3	0
5	-2	1

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		-8	2
		18	-3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 3} * 1 *		-8	2		=
		18	-3

=		-8	2		=
		18	-3

= -8 * ( -3) - 2 * 18 =

= 24 - 36 =

= -12

Вычислим det A₂ подробнее

Необходимо заменить столбец 2 в det A на столбец свободных членов системы.

Система

det A

det A₂

		x₁	+	2	x₂	-	2	x₃	=	-8
-	3	x₁	-	3	x₂	+	3	x₃	=	18
	-	x₁	-	2	x₂	+	3	x₃	=	5

1	2	-2
-3	-3	3
-1	-2	3

1	-8	-2
-3	18	3
-1	5	3

det A₂ =	1	-8	-2	=
	-3	18	3
	-1	5	3

К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 1. подробнее

1	-8	-2 + 1
-3	18	3 + ( -3)
-1	5	3 + ( -1)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	-8	-1	=
	-3	18	0
	-1	5	2

К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. подробнее

1	-8	-1
-3	18	0
-1 + 1 * 2	5 + ( -8) * 2	2 + ( -1) * 2

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	-8	-1	=
	-3	18	0
	1	-11	0

Разложим определитель по элементам столбца 3. подробнее

1	-8	-1
-3	18	0
1	-11	0

Номер строки 1
Номер столбца 3

Элемент

Строку 1 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{1 + 3}

-1

		-3	18
		1	-11

1	-8	-1
-3	18	0
1	-11	0

Номер строки 2
Номер столбца 3

Элемент

Строку 2 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{2 + 3}

		1	-8
		1	-11

1	-8	-1
-3	18	0
1	-11	0

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

		1	-8
		-3	18

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{1 + 3} * ( -1) *		-3	18		=
		1	-11

= -		-3	18		=
		1	-11

= - ( -3 * ( -11) - 18 * 1 ) =

= - ( 33 - 18 ) =

= -15

Вычислим det A₃ подробнее

Необходимо заменить столбец 3 в det A на столбец свободных членов системы.

Система

det A

det A₃

		x₁	+	2	x₂	-	2	x₃	=	-8
-	3	x₁	-	3	x₂	+	3	x₃	=	18
	-	x₁	-	2	x₂	+	3	x₃	=	5

1	2	-2
-3	-3	3
-1	-2	3

1	2	-8
-3	-3	18
-1	-2	5

det A₃ =	1	2	-8	=
	-3	-3	18
	-1	-2	5

К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1. подробнее

1	2	-8
-3	-3	18
-1 + 1	-2 + 2	5 + ( -8)

Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.

=	1	2	-8	=
	-3	-3	18
	0	0	-3

Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее

1	2	-8
-3	-3	18
0	0	-3

Номер строки 3
Номер столбца 1

Элемент

Строку 3 и столбец 1
вычеркнули

( -1) ^{3 + 1}

		2	-8
		-3	18

1	2	-8
-3	-3	18
0	0	-3

Номер строки 3
Номер столбца 2

Элемент

Строку 3 и столбец 2
вычеркнули

( -1) ^{3 + 2}

		1	-8
		-3	18

1	2	-8
-3	-3	18
0	0	-3

Номер строки 3
Номер столбца 3

Элемент

Строку 3 и столбец 3
вычеркнули

( -1) ^{3 + 3}

-3

		1	2
		-3	-3

Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.

= ( -1) ^{3 + 3} * ( -3) *		1	2		=
		-3	-3

= - 3 *		1	2		=
		-3	-3

= - 3 * ( 1 * ( -3) - 2 * ( -3) ) =

= - 3 * ( -3 + 6 ) =

= -9

Ответ:

x₁ = det A₁ / det A = -12/3 = -4

x₂ = det A₂ / det A = -15/3 = -5

x₃ = det A₃ / det A = -9/3 = -3

Перейти к решению своей задачи

Наверх

Поддержать проект

Сервис для решения задач по линейному программированию

Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера