Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи
English

Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Решим систему линейных уравнений, используя метод Крамера.
Знак системыx1 +2x2-2 x3 = -8
-3 x1-3 x2+3x3 = 18
-x1-2 x2+3x3 = 5
Запишем формулы Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то использовать формулы Крамера невозможно.
Вычислим det A.   подробнее
det A состоит из коэффициентов левой части системы уравнений.
Знак системыx1 +2x2-2 x3 = -8
-3 x1-3 x2+3x3 = 18
-x1-2 x2+3x3 = 5
det A = 1 2 -2 =
-3 -3 3
-1 -2 3
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1.   подробнее
1 2 -2
-3 -3 3
-1 + 1 -2 + 2 3 + ( -2)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 2 -2 =
-3 -3 3
0 0 1
Разложим определитель по элементам строки 3.   подробнее
1 2 -2
-3 -3 3
0 0 1
Номер строки 3
Номер столбца 1
Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 3 + 1 * 0 *
2 -2
-3 3
1 2 -2
-3 -3 3
0 0 1
Номер строки 3
Номер столбца 2
Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 3 + 2 * 0 *
1 -2
-3 3
1 2 -2
-3 -3 3
0 0 1
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * 1 *
1 2
-3 -3
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 3 * 1 * 1 2 =
-3 -3
= 1 2 =
-3 -3
= 1 * ( -3) - 2 * ( -3) =
= -3 + 6 =
= 3
det A не равен нулю. Использование формул Крамера возможно.
Вычислим det A1   подробнее
Необходимо заменить столбец 1 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A1
Знак системыx1 +2x2-2 x3 = -8
-3 x1-3 x2+3x3 = 18
-x1-2 x2+3x3 = 5
1 2 -2
-3 -3 3
-1 -2 3
-8 2 -2
18 -3 3
5 -2 3
det A1 = -8 2 -2 =
18 -3 3
5 -2 3
К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 2.   подробнее
-8 2 -2 + 2
18 -3 3 + ( -3)
5 -2 3 + ( -2)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= -8 2 0 =
18 -3 0
5 -2 1
Разложим определитель по элементам столбца 3.   подробнее
-8 2 0
18 -3 0
5 -2 1
Номер строки 1
Номер столбца 3
Элемент Строку 1 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 1 + 3 * 0 *
18 -3
5 -2
-8 2 0
18 -3 0
5 -2 1
Номер строки 2
Номер столбца 3
Элемент Строку 2 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 2 + 3 * 0 *
-8 2
5 -2
-8 2 0
18 -3 0
5 -2 1
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * 1 *
-8 2
18 -3
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 3 * 1 * -8 2 =
18 -3
= -8 2 =
18 -3
= -8 * ( -3) - 2 * 18 =
= 24 - 36 =
= -12
Вычислим det A2   подробнее
Необходимо заменить столбец 2 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A2
Знак системыx1 +2x2-2 x3 = -8
-3 x1-3 x2+3x3 = 18
-x1-2 x2+3x3 = 5
1 2 -2
-3 -3 3
-1 -2 3
1 -8 -2
-3 18 3
-1 5 3
det A2 = 1 -8 -2 =
-3 18 3
-1 5 3
К элементам столбца 3 прибавляем соответствующие элементы столбца 1.   подробнее
1 -8 -2 + 1
-3 18 3 + ( -3)
-1 5 3 + ( -1)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 -8 -1 =
-3 18 0
-1 5 2
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2.   подробнее
1 -8 -1
-3 18 0
-1 + 1 * 2 5 + ( -8) * 2 2 + ( -1) * 2
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 -8 -1 =
-3 18 0
1 -11 0
Разложим определитель по элементам столбца 3.   подробнее
1 -8 -1
-3 18 0
1 -11 0
Номер строки 1
Номер столбца 3
Элемент Строку 1 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 1 + 3 * -1 *
-3 18
1 -11
1 -8 -1
-3 18 0
1 -11 0
Номер строки 2
Номер столбца 3
Элемент Строку 2 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 2 + 3 * 0 *
1 -8
1 -11
1 -8 -1
-3 18 0
1 -11 0
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * 0 *
1 -8
-3 18
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 1 + 3 * ( -1) * -3 18 =
1 -11
= - -3 18 =
1 -11
= - ( -3 * ( -11) - 18 * 1 ) =
= - ( 33 - 18 ) =
= -15
Вычислим det A3   подробнее
Необходимо заменить столбец 3 в det A на столбец свободных членов системы.
Система det A det A3
Знак системыx1 +2x2-2 x3 = -8
-3 x1-3 x2+3x3 = 18
-x1-2 x2+3x3 = 5
1 2 -2
-3 -3 3
-1 -2 3
1 2 -8
-3 -3 18
-1 -2 5
det A3 = 1 2 -8 =
-3 -3 18
-1 -2 5
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1.   подробнее
1 2 -8
-3 -3 18
-1 + 1 -2 + 2 5 + ( -8)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 2 -8 =
-3 -3 18
0 0 -3
Разложим определитель по элементам строки 3.   подробнее
1 2 -8
-3 -3 18
0 0 -3
Номер строки 3
Номер столбца 1
Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 3 + 1 * 0 *
2 -8
-3 18
1 2 -8
-3 -3 18
0 0 -3
Номер строки 3
Номер столбца 2
Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 3 + 2 * 0 *
1 -8
-3 18
1 2 -8
-3 -3 18
0 0 -3
Номер строки 3
Номер столбца 3
Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 3 + 3 * -3 *
1 2
-3 -3
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 3 + 3 * ( -3) * 1 2 =
-3 -3
= - 3 * 1 2 =
-3 -3
= - 3 * ( 1 * ( -3) - 2 * ( -3) ) =
= - 3 * ( -3 + 6 ) =
= -9
Ответ:
x1 = det A1 / det A = -12/3 = -4
x2 = det A2 / det A = -15/3 = -5
x3 = det A3 / det A = -9/3 = -3








© 2010-2021

Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru


Ссылки