Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера

Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Пример №1. Решение системы линейных уравнений второго порядка методом Крамера
Пример №2. Решение системы линейных уравнений третьего порядка методом Крамера
Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Задача:
Решить систему уравнений методом Крамера.
Знак системы 2 x1 + x2 + x3 = 4
3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 3
4 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 4
Решение:
Для нахождения переменных воспользуемся формулами Крамера:
x1 = det A1 / det A
x2 = det A2 / det A
x3 = det A3 / det A
Из формул следует: если det A = 0, тогда невозможно применить метод Крамера для решения данной системы.

Найдем det A

Определитель det A состоит из коэффициентов системы.
det A =211 =
322
423
Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2. (Подробнее)
= 211 =
322
4 - 2 * 22 - 1 * 23 - 1 * 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любой строки вычесть (прибавить) соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для столбцов все аналогично.
Скрыть
= 211 =
322
001

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
211
322
001
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 0 *
11
22
211
322
001
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 0 *
21
32
211
322
001
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 1 *
21
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 3 * 1 * 21=
32
= 21=
32
= 2 * 2 - 1 * 3 =
= 4 - 3 =
= 1
Вывод: метод Крамера можно применить.

Найдем det A1

Определитель det A1 получается из определителя det A , путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A1 =411 =
322
423
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 2. (Подробнее)
= 411 - 1 =
322 - 2
423 - 2
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 410 =
320
421

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
410
320
421
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 0 *
32
42
410
320
421
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
41
42
410
320
421
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 1 *
41
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 3 + 3 * 1 * 41=
32
= 41=
32
= 4 * 2 - 1 * 3 =
= 8 - 3 =
= 5

Найдем det A2

Определитель det A2 получается из определителя det A , путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A2 =241 =
332
443
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 1. (Подробнее)
= 24 - 21 =
33 - 32
44 - 43
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 221 =
302
403

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
221
302
403
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 2 *
32
43
221
302
403
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 0 *
21
43
221
302
403
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 0 *
21
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 2 * 32=
43
= - 2 * 32=
43
= - 2 * ( 3 * 3 - 2 * 4 ) =
= - 2 * ( 9 - 8 ) =
= -2

Найдем det A3

Определитель det A3 получается из определителя det A , путем замены третьего столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.
det A3 =214 =
323
424
Из элементов столбца 3 вычитаем соответствующие элементы столбца 1. (Подробнее)
= 214 - 2 =
323 - 3
424 - 4
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 212 =
320
420

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
212
320
420
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 2 *
32
42
212
320
420
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 0 *
21
42
212
320
420
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 0 *
21
32
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 2 * 32=
42
= 2 * 32=
42
= 2 * ( 3 * 2 - 2 * 4 ) =
= 2 * ( 6 - 8 ) =
= -4

Ответ:

x1 = det A1 / det A = 5 / 1 = 5
x2 = det A2 / det A = -2 / 1 = -2
x3 = det A3 / det A = -4 / 1 = -4









© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки