Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи
English

Пример №1. Нахождение обратной матрицы второго порядка

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Найдем матрицу A-1, обратную исходной:
A = 1 2
1 3
Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A11 ... A22   - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.
Вычислим det A.
det A = 1 2
1 3
= 1 * 3 - 2 * 1 = 3 - 2 = 1
det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.
Вычислим числа (алгебраические дополнения)   A11 ... A22
1 2
1 3
Номер строки 1
Номер столбца 1
Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
A11 = ( -1) 1 + 1 * 3 = 3
1 2
1 3
Номер строки 1
Номер столбца 2
Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
A12 = ( -1) 1 + 2 * 1 = -1
1 2
1 3
Номер строки 2
Номер столбца 1
Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
A21 = ( -1) 2 + 1 * 2 = -2
1 2
1 3
Номер строки 2
Номер столбца 2
Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
A22 = ( -1) 2 + 2 * 1 = 1
Ответ:
A-1 = 1 / det A * A11 A21
A12 A22
A-1 = 1 / 1 * 3 -2
-1 1
A-1 = 3 -2
-1 1
Необходимо проверить, что выполняется условие:   A-1 * A = E.
3 -2
-1 1
*
1 2
1 3
=
b11 b12
b21 b22
b11 = 3 * 1 + ( -2) * 1 = 3 - 2 = 1
3 -2
-1 1
*
1 2
1 3
=
1 b12
b21 b22
b12 = 3 * 2 + ( -2) * 3 = 6 - 6 = 0
3 -2
-1 1
*
1 2
1 3
=
1 0
b21 b22
b21 = -1 * 1 + 1 * 1 = -1 + 1 = 0
3 -2
-1 1
*
1 2
1 3
=
1 0
0 b22
b22 = -1 * 2 + 1 * 3 = -2 + 3 = 1
3 -2
-1 1
*
1 2
1 3
=
1 0
0 1
= E
Таким образом, найденная матрица A-1 является обратной для исходной матрицы A.








© 2010-2021

Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru


Ссылки