Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи
English

Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядка

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Найдем матрицу A-1, обратную исходной:
A = 1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A11 ... A33   - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже.
На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно.
Вычислим det A.
det A = 1 3 1 =
2 2 1
-1 -1 2
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2.   подробнее
1 3 1
2 + ( -1) * 2 2 + ( -1) * 2 1 + 2 * 2
-1 -1 2
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 3 1 =
0 0 5
-1 -1 2
Разложим определитель по элементам строки 2.   подробнее
1 3 1
0 0 5
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 1
Элемент Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
( -1) 2 + 1 * 0 *
3 1
-1 2
1 3 1
0 0 5
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 2
Элемент Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
( -1) 2 + 2 * 0 *
1 1
-1 2
1 3 1
0 0 5
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 3
Элемент Строку 2 и столбец 3
вычеркнули
( -1) 2 + 3 * 5 *
1 3
-1 -1
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) 2 + 3 * 5 * 1 3 =
-1 -1
= - 5 * 1 3 =
-1 -1
= - 5 * ( 1 * ( -1) - 3 * ( -1) ) =
= - 5 * ( -1 + 3 ) =
= -10
det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно.
Вычислим числа (алгебраические дополнения)   A11 ... A33
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 1
Номер столбца 1
Строку 1 и столбец 1
вычеркнули
A11 = ( -1) 1 + 1 *
2 1 =
-1 2
= 2 * 2 - 1 * ( -1) = 4 + 1 = 5
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 1
Номер столбца 2
Строку 1 и столбец 2
вычеркнули
A12 = ( -1) 1 + 2 *
2 1 =
-1 2
= - ( 2 * 2 - 1 * ( -1) ) = - (4 + 1) = -5
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 1
Номер столбца 3
Строку 1 и столбец 3
вычеркнули
A13 = ( -1) 1 + 3 *
2 2 =
-1 -1
= 2 * ( -1) - 2 * ( -1) = -2 + 2 = 0
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 1
Строку 2 и столбец 1
вычеркнули
A21 = ( -1) 2 + 1 *
3 1 =
-1 2
= - ( 3 * 2 - 1 * ( -1) ) = - (6 + 1) = -7
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 2
Строку 2 и столбец 2
вычеркнули
A22 = ( -1) 2 + 2 *
1 1 =
-1 2
= 1 * 2 - 1 * ( -1) = 2 + 1 = 3
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 2
Номер столбца 3
Строку 2 и столбец 3
вычеркнули
A23 = ( -1) 2 + 3 *
1 3 =
-1 -1
= - ( 1 * ( -1) - 3 * ( -1) ) = - (-1 + 3) = -2
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 3
Номер столбца 1
Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
A31 = ( -1) 3 + 1 *
3 1 =
2 1
= 3 * 1 - 1 * 2 = 3 - 2 = 1
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 3
Номер столбца 2
Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
A32 = ( -1) 3 + 2 *
1 1 =
2 1
= - ( 1 * 1 - 1 * 2 ) = - (1 - 2) = 1
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
Номер строки 3
Номер столбца 3
Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
A33 = ( -1) 3 + 3 *
1 3 =
2 2
= 1 * 2 - 3 * 2 = 2 - 6 = -4
Ответ:
A-1 = 1 / det A * A11 A21 A31
A12 A22 A32
A13 A23 A33
A-1 = 1 / ( -10) * 5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
A-1 = -1/2 7/10 -1/10
1/2 -3/10 -1/10
0 1/5 2/5
Необходимо проверить, что выполняется условие:   A-1 * A = E.
Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A-1.
Это позволит нам избежать вычислений с дробями.
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b11 = 5 * 1 + ( -7) * 2 + 1 * ( -1) = 5 - 14 - 1 = -10
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b12 = 5 * 3 + ( -7) * 2 + 1 * ( -1) = 15 - 14 - 1 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b13 = 5 * 1 + ( -7) * 1 + 1 * 2 = 5 - 7 + 2 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
b21 b22 b23
b31 b32 b33
b21 = -5 * 1 + 3 * 2 + 1 * ( -1) = -5 + 6 - 1 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 b22 b23
b31 b32 b33
b22 = -5 * 3 + 3 * 2 + 1 * ( -1) = -15 + 6 - 1 = -10
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 -10 b23
b31 b32 b33
b23 = -5 * 1 + 3 * 1 + 1 * 2 = -5 + 3 + 2 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 -10 0
b31 b32 b33
b31 = 0 * 1 + ( -2) * 2 + ( -4) * ( -1) = 0 - 4 + 4 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 -10 0
0 b32 b33
b32 = 0 * 3 + ( -2) * 2 + ( -4) * ( -1) = 0 - 4 + 4 = 0
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 -10 0
0 0 b33
b33 = 0 * 1 + ( -2) * 1 + ( -4) * 2 = 0 - 2 - 8 = -10
5 -7 1
-5 3 1
0 -2 -4
*
1 3 1
2 2 1
-1 -1 2
=
-10 0 0
0 -10 0
0 0 -10
Необходимо умножить получившуюся матрицу на -1/10
-1/10 * -10 0 0
0 -10 0
0 0 -10
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
= E
Таким образом, найденная матрица A-1 является обратной для исходной матрицы A.








© 2010-2021

Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru


Ссылки