Пример №2. Нахождение обратной матрицы третьего порядкаДанное решение сделано калькулятором, представленным на сайте. Найдем матрицу A-1, обратную исходной:
Запишем формулу для нахождения обратной матрицы:
A11 ... A33 - это числа (алгебраические дополнения), которые будут найдены позже. На ноль делить нельзя. Поэтому если det A равен нулю, то найти обратную матрицу невозможно. Вычислим det A.
К элементам строки 2 прибавляем соответствующие элементы строки 3, умноженные на 2. подробнее
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
Разложим определитель по элементам строки 2. подробнее
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= - 5 * ( 1 * ( -1) - 3 * ( -1) ) = = - 5 * ( -1 + 3 ) = = -10 det A не равен нулю. Следовательно, найти обратную матрицу возможно. Вычислим числа (алгебраические дополнения) A11 ... A33
= 2 * 2 - 1 * ( -1) = 4 + 1 = 5
= - ( 2 * 2 - 1 * ( -1) ) = - (4 + 1) = -5
= 2 * ( -1) - 2 * ( -1) = -2 + 2 = 0
= - ( 3 * 2 - 1 * ( -1) ) = - (6 + 1) = -7
= 1 * 2 - 1 * ( -1) = 2 + 1 = 3
= - ( 1 * ( -1) - 3 * ( -1) ) = - (-1 + 3) = -2
= 3 * 1 - 1 * 2 = 3 - 2 = 1
= - ( 1 * 1 - 1 * 2 ) = - (1 - 2) = 1
= 1 * 2 - 3 * 2 = 2 - 6 = -4 Ответ:
Необходимо проверить, что выполняется условие: A-1 * A = E. Мы будем использовать предпоследнюю форму записи обратной матрицы A-1. Это позволит нам избежать вычислений с дробями.
b11 = 5 * 1 + ( -7) * 2 + 1 * ( -1) =
5 - 14 - 1 = -10
b12 = 5 * 3 + ( -7) * 2 + 1 * ( -1) =
15 - 14 - 1 = 0
b13 = 5 * 1 + ( -7) * 1 + 1 * 2 =
5 - 7 + 2 = 0
b21 = -5 * 1 + 3 * 2 + 1 * ( -1) =
-5 + 6 - 1 = 0
b22 = -5 * 3 + 3 * 2 + 1 * ( -1) =
-15 + 6 - 1 = -10
b23 = -5 * 1 + 3 * 1 + 1 * 2 =
-5 + 3 + 2 = 0
b31 = 0 * 1 + ( -2) * 2 + ( -4) * ( -1) =
0 - 4 + 4 = 0
b32 = 0 * 3 + ( -2) * 2 + ( -4) * ( -1) =
0 - 4 + 4 = 0
b33 = 0 * 1 + ( -2) * 1 + ( -4) * 2 =
0 - 2 - 8 = -10
Необходимо умножить получившуюся матрицу на -1/10
Таким образом, найденная матрица A-1 является обратной для исходной матрицы A. |