Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи		 En

Пример №2. Решение транспортной задачи линейного программирования.
Метод наименьшей стоимости (фиктивный поставщик)

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Перейти к решению своей задачи
X
Задача:
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю располагается в правом нижнем углу ячейки.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
4
5
3
6
   30  
A 2
7
2
1
5
   25  
A 3
6
1
4
2
   20  
  Потребность   20 15 25 20
Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей.
Решение:
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
cуммарные запасы продукции у поставщиков должны равняться суммарной потребности потребителей.
Проверим.
Запасы поставщиков: 30 + 25 + 20 = 75 единиц продукции.
Потребность потребителей: 20 + 15 + 25 + 20 = 80 единиц продукции.
Разница в 5 единиц продукции.
Введем в рассмотрение фиктивного поставщика A4, с запасом продукции равным 5 единиц.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 ко всем потребителям примем равной нулю (см. таблицу ниже).
Теперь суммарные запасы продукции у поставщиков равны суммарной потребности потребителей.
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
количество задействованных маршрутов = количество поставщиков + количество потребителей - 1.
Поэтому если возникнет ситуация, в которой будет необходимо исключить столбец и строку одновременно, мы исключим что-то одно.
В первую очередь, будем задействовать маршруты с наименьшей стоимостью доставки.
Маршруты доставки продукции от фиктивного поставщика A4 к потребителям будем рассматривать в последнюю очередь.
Возможно, это позволит получить меньшую стоимость доставки продукции для начального решения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
4
5
3
6
   30  
A 2
7
2
?
1
5
   25  
A 3
6
1
4
2
   20  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20 15 25 20
25 = min { 25, 25 } ?
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
4
5
3
6
   30  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
?
1
4
2
   20  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20 15 25
0		 20
15 = min { 15, 20 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
4
5
3
6
   30  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
?
2
   20   5  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20 15
нет		 25
0		 20
5 = min { 20, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
4
5
?
3
6
   30  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20   5   нет  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20 15
нет		 25
0 		20
15
0 = min { 0, 30 } ?
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
?
4
5
0
3
6
   30   30  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20   5   нет  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20 15
нет		 25
0
нет		 20
15
20 = min { 20, 30 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
?
6
   30   30   10  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20   5   нет  
A 4
0
0
0
0
   5  
  Потребность   20
нет		 15
нет		 25
0
нет		 20
15
10 = min { 15, 10 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
10
6
   30   30   10   нет  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20   5   нет  
A 4
0
0
0
?
0
   5  
  Потребность   20
нет		 15
нет		 25
0
нет		 20
15
5
5 = min { 5, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
10
6
   30   30   10   нет  
A 2
7
2
25
1
5
   25   нет  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20   5   нет  
A 4
0
0
0
5
0
   5   нет  
  Потребность   20
нет		 15
нет		 25
0
нет		 20
15
5
нет
Стоимость доставки продукции, для начального решения, не сложно посчитать.

20*4 + 0*3 + 10*6 + 25*1 + 15*1 + 5*2 + 5*0 = 190 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число U i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число V j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута:
потенциал поставщика + потенциал потребителя = тариф задействованного маршрута.
Последовательно найдем значения потенциалов.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0.
A1B1 :   v1 + u1 = 4     v1 = 4 - 0 = 4
A1B3 :   v3 + u1 = 3     v3 = 3 - 0 = 3
A1B4 :   v4 + u1 = 6     v4 = 6 - 0 = 6
A2B3 :   v3 + u2 = 1     u2 = 1 - 3 = -2
A3B4 :   v4 + u3 = 2     u3 = 2 - 6 = -4
A4B4 :   v4 + u4 = 0     u4 = 0 - 6 = -6
A3B2 :   v2 + u3 = 1     v2 = 1 - (-4) = 5
Подробнее о нахождении потенциалов
  Поставщик   Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
10
6
   u1 = 0  
A 2
7
2
25
1
5
   u2 = -2  
A 3
6
15
1
4
5
2
   u3 = -4  
A 4
0
0
0
5
0
   u4 = -6  
  V   v1 = 4 v2 = 5 v3 = 3 v4 = 6
Найдем оценки незадействованных маршрутов (cij - стоимость доставки). ?
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 5 - ( 0 + 5 ) = 0
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( -2 + 4 ) = 5
A2B2 :   Δ22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 2 - ( -2 + 5 ) = -1
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 5 - ( -2 + 6 ) = 1
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 6 - ( -4 + 4 ) = 6
A3B3 :   Δ33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 4 - ( -4 + 3 ) = 5
A4B1 :   Δ41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 0 - ( -6 + 4 ) = 2
A4B2 :   Δ42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 0 - ( -6 + 5 ) = 1
A4B3 :   Δ43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 0 - ( -6 + 3 ) = 3
Есть отрицательная оценка. Следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №1.
Выберем ячейку A2B2, ее оценка отрицательная. Пожалуйста, поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A2B2
Используя только горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку A2B2
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки
(см. выделенные ячейки в таблице ниже). Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
10
6
   30  
A 2
7
-1
2
25
1
5
   25  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20  
A 4
0
0
0
5
0
   5  
  Потребность     20     15     25     20  
10 = min { 25, 10, 15 } ?
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0
3
10
6
   30  
A 2
7
-1
2
25
1
5
   25  
A 3
6
15
1
4
5
2
   20  
A 4
0
0
0
5
0
   5  
  Потребность     20     15     25     20  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
2 * 10 - 1 * 10 + 3 * 10 - 6 * 10 + 2 * 10 - 1 * 10 = ( 2 - 1 + 3 - 6 + 2 - 1 ) * 10 = -1 * 10 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -1 * 10 = Δ22 * 10 ?
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
0 + 10
3
10 - 10
6
   30  
A 2
7
+10
-1
2
25 - 10
1
5
   25  
A 3
6
15 - 10
1
4
5 + 10
2
   20  
A 4
0
0
0
5
0
   5  
  Потребность     20     15     25     20  
Получили новое решение. ?
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
10
3
6
   30  
A 2
7
10
2
15
1
5
   25  
A 3
6
5
1
4
15
2
   20  
A 4
0
0
0
5
0
   5  
  Потребность     20     15     25     20  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 190 + Δ22 * 10 = 190 -1 * 10 = 180 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число U i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число V j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута:
потенциал поставщика + потенциал потребителя = тариф задействованного маршрута.
Последовательно найдем значения потенциалов.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0.
A1B1 :   v1 + u1 = 4     v1 = 4 - 0 = 4
A1B3 :   v3 + u1 = 3     v3 = 3 - 0 = 3
A2B3 :   v3 + u2 = 1     u2 = 1 - 3 = -2
A2B2 :   v2 + u2 = 2     v2 = 2 - (-2) = 4
A3B2 :   v2 + u3 = 1     u3 = 1 - 4 = -3
A3B4 :   v4 + u3 = 2     v4 = 2 - (-3) = 5
A4B4 :   v4 + u4 = 0     u4 = 0 - 5 = -5
Подробнее о нахождении потенциалов
  Поставщик   Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
20
4
5
10
3
6
   u1 = 0  
A 2
7
10
2
15
1
5
   u2 = -2  
A 3
6
5
1
4
15
2
   u3 = -3  
A 4
0
0
0
5
0
   u4 = -5  
  V   v1 = 4 v2 = 4 v3 = 3 v4 = 5
Найдем оценки незадействованных маршрутов (cij - стоимость доставки). ?
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 5 - ( 0 + 4 ) = 1
A1B4 :   Δ14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 6 - ( 0 + 5 ) = 1
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 7 - ( -2 + 4 ) = 5
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 5 - ( -2 + 5 ) = 2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 6 - ( -3 + 4 ) = 5
A3B3 :   Δ33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 4 - ( -3 + 3 ) = 4
A4B1 :   Δ41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 0 - ( -5 + 4 ) = 1
A4B2 :   Δ42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 0 - ( -5 + 4 ) = 1
A4B3 :   Δ43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 0 - ( -5 + 3 ) = 2
Нет отрицательных оценок. Следовательно, уменьшить общую стоимость доставки продукции невозможно.
Ответ:

X опт =

Знак матрицы200100Знак матрицы
010150
05015
0005

Smin = 180 ден. ед.


© 2010-2026 Если у вас есть замечания, пожалуйста, пишите matematika1974@yandex.ru

Ссылки