Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №2. Транспортная задача. Метод наименьшей стоимости (фиктивный поставщик).

Транспортная задача.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю располагается в правом нижнем углу ячейки.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
1
2
  200  
A 2
4
5
9
8
  180  
A 3
9
2
3
6
  190  
  Потребность   150 180 150 140
Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей.
Решение:
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
cуммарные запасы продукции у поставщиков должны равняться суммарной потребности потребителей.

Проверим.
Запасы поставщиков: 200 + 180 + 190 = 570 единиц продукции.
Потребность потребителей: 150 + 180 + 150 + 140 = 620 единиц продукции.
Разница в 50 единиц продукции.
Введем в рассмотрение фиктивного поставщика A4, с запасом продукции равным 50 единиц.
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A4 ко всем потребителям примем равной нулю (см. таблицу ниже).
Теперь суммарные запасы продукции у поставщиков равны суммарной потребности потребителей.
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
количество задействованных маршрутов = количество поставщиков + количество потребителей - 1.

Поэтому если возникнет ситуация, в которой будет необходимо исключить столбец и строку одновременно, мы исключим что-то одно.
В первую очередь, будем задействовать маршруты с наименьшей стоимостью доставки.
Маршруты доставки продукции от фиктивного поставщика A4 к потребителям будем рассматривать в последнюю очередь.
Это позволит получить меньшую стоимость доставки продукции для начального решения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
1
2
  200  
A 2
4
5
9
8
  180  
A 3
9
2
3
6
  190  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150 180 150 140
150 = min { 150, 200 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
2
  200   50  
A 2
4
5
9
8
  180  
A 3
9
2
3
6
  190  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150 180 150
нет
140
50 = min { 140, 50 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
4
5
9
8
  180  
A 3
9
2
3
6
  190  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150 180 150
нет
140
90
180 = min { 180, 190 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
4
5
9
8
  180  
A 3
9
180
2
3
6
  190   10  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150 180
нет
150
нет
140
90
150 = min { 150, 180 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
150
4
5
9
8
  180   30  
A 3
9
180
2
3
6
  190   10  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150
нет
180
нет
150
нет
140
90
10 = min { 90, 10 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
150
4
5
9
8
  180   30  
A 3
9
180
2
3
10
6
  190   10   нет  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150
нет
180
нет
150
нет
140
90
80
30 = min { 80, 30 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180   30   нет  
A 3
9
180
2
3
10
6
  190   10   нет  
A 4
0
0
0
0
  50  
  Потребность   150
нет
180
нет
150
нет
140
90
80
50
50 = min { 50, 50 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200   50   нет  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180   30   нет  
A 3
9
180
2
3
10
6
  190   10   нет  
A 4
0
0
0
50
0
  50   нет  
  Потребность   150
нет
180
нет
150
нет
140
90
80
50
нет
Стоимость доставки продукции, для начального решения, не сложно посчитать.

150*1 + 50*2 + 150*4 + 30*8 + 180*2 + 10*6 + 50*0 = 1510 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число - u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число - v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A1B3 :   v3 + u1 = 1         v3 = 1 - 0 = 1
A1B4 :   v4 + u1 = 2         v4 = 2 - 0 = 2
A2B4 :   v4 + u2 = 8         u2 = 8 - 2 = 6
A3B4 :   v4 + u3 = 6         u3 = 6 - 2 = 4
A4B4 :   v4 + u4 = 0         u4 = 0 - 2 = -2
A2B1 :   v1 + u2 = 4         v1 = 4 - 6 = -2
A3B2 :   v2 + u3 = 2         v2 = 2 - 4 = -2
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B1 :   Δ11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 7 - ( 0 + -2 ) = 9
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 8 - ( 0 + -2 ) = 10
A2B2 :   Δ22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 5 - ( 6 + -2 ) = 1
A2B3 :   Δ23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 9 - ( 6 + 1 ) = 2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 4 + -2 ) = 7
A3B3 :   Δ33 = c33 - ( u3 + v3 ) = 3 - ( 4 + 1 ) = -2
A4B1 :   Δ41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 0 - ( -2 + -2 ) = 4
A4B2 :   Δ42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 0 - ( -2 + -2 ) = 4
A4B3 :   Δ43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 0 - ( -2 + 1 ) = 1
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  u1 = 0  
A 2
150
4
5
9
30
8
  u2 = 6  
A 3
9
180
2
3
10
6
  u3 = 4  
A 4
0
0
0
50
0
  u4 = -2  
  V     v1 = -2     v2 = -2     v3 = 1     v4 = 2  
Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №1.
Выберем ячейку A3B3, ее оценка отрицательная. Поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A3B3.
Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку.
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки.
Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
-2
3
10
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
10 = min { 10, 150 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150
1
50
2
  200  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
-2
3
10
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
3 * 10 - 6 * 10 + 2 * 10 - 1 * 10 = ( 3 - 6 + 2 - 1 ) * 10 = -2 * 10 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -2 * 10 = Δ33 * 10
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
150 - 10
1
50 + 10
2
  200  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
+10
-2
3
10 - 10
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Получили новое решение.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
140
1
60
2
  200  
A 2
150
4
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
10
3
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 1510 + Δ33 * 10 = 1510 -2 * 10 = 1490 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число - u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число - v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A1B3 :   v3 + u1 = 1         v3 = 1 - 0 = 1
A1B4 :   v4 + u1 = 2         v4 = 2 - 0 = 2
A2B4 :   v4 + u2 = 8         u2 = 8 - 2 = 6
A3B3 :   v3 + u3 = 3         u3 = 3 - 1 = 2
A4B4 :   v4 + u4 = 0         u4 = 0 - 2 = -2
A2B1 :   v1 + u2 = 4         v1 = 4 - 6 = -2
A3B2 :   v2 + u3 = 2         v2 = 2 - 2 = 0
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B1 :   Δ11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 7 - ( 0 + -2 ) = 9
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 8 - ( 0 + 0 ) = 8
A2B2 :   Δ22 = c22 - ( u2 + v2 ) = 5 - ( 6 + 0 ) = -1
A2B3 :   Δ23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 9 - ( 6 + 1 ) = 2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 2 + -2 ) = 9
A3B4 :   Δ34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 6 - ( 2 + 2 ) = 2
A4B1 :   Δ41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 0 - ( -2 + -2 ) = 4
A4B2 :   Δ42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 0 - ( -2 + 0 ) = 2
A4B3 :   Δ43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 0 - ( -2 + 1 ) = 1
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
140
1
60
2
  u1 = 0  
A 2
150
4
5
9
30
8
  u2 = 6  
A 3
9
180
2
10
3
6
  u3 = 2  
A 4
0
0
0
50
0
  u4 = -2  
  V     v1 = -2     v2 = 0     v3 = 1     v4 = 2  
Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №2.
Выберем ячейку A2B2, ее оценка отрицательная. Поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A2B2.
Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку.
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки.
Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
140
1
60
2
  200  
A 2
150
4
-1
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
10
3
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
30 = min { 30, 140, 180 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
140
1
60
2
  200  
A 2
150
4
-1
5
9
30
8
  180  
A 3
9
180
2
10
3
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
5 * 30 - 8 * 30 + 2 * 30 - 1 * 30 + 3 * 30 - 2 * 30 = ( 5 - 8 + 2 - 1 + 3 - 2 ) * 30 = -1 * 30 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -1 * 30 = Δ22 * 30
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
140 - 30
1
60 + 30
2
  200  
A 2
150
4
+30
-1
5
9
30 - 30
8
  180  
A 3
9
180 - 30
2
10 + 30
3
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Получили новое решение.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
110
1
90
2
  200  
A 2
150
4
30
5
9
8
  180  
A 3
9
150
2
40
3
6
  190  
A 4
0
0
0
50
0
  50  
  Потребность     150     180     150     140  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 1490 + Δ22 * 30 = 1490 -1 * 30 = 1460 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число - u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число - v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u1 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A1B3 :   v3 + u1 = 1         v3 = 1 - 0 = 1
A1B4 :   v4 + u1 = 2         v4 = 2 - 0 = 2
A3B3 :   v3 + u3 = 3         u3 = 3 - 1 = 2
A4B4 :   v4 + u4 = 0         u4 = 0 - 2 = -2
A3B2 :   v2 + u3 = 2         v2 = 2 - 2 = 0
A2B2 :   v2 + u2 = 5         u2 = 5 - 0 = 5
A2B1 :   v1 + u2 = 4         v1 = 4 - 5 = -1
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B1 :   Δ11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 7 - ( 0 + -1 ) = 8
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 8 - ( 0 + 0 ) = 8
A2B3 :   Δ23 = c23 - ( u2 + v3 ) = 9 - ( 5 + 1 ) = 3
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 8 - ( 5 + 2 ) = 1
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 9 - ( 2 + -1 ) = 8
A3B4 :   Δ34 = c34 - ( u3 + v4 ) = 6 - ( 2 + 2 ) = 2
A4B1 :   Δ41 = c41 - ( u4 + v1 ) = 0 - ( -2 + -1 ) = 3
A4B2 :   Δ42 = c42 - ( u4 + v2 ) = 0 - ( -2 + 0 ) = 2
A4B3 :   Δ43 = c43 - ( u4 + v3 ) = 0 - ( -2 + 1 ) = 1
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
7
8
110
1
90
2
  u1 = 0  
A 2
150
4
30
5
9
8
  u2 = 5  
A 3
9
150
2
40
3
6
  u3 = 2  
A 4
0
0
0
50
0
  u4 = -2  
  V     v1 = -1     v2 = 0     v3 = 1     v4 = 2  
Нет отрицательных оценок, следовательно, уменьшить общую стоимость достаки продукции невозможно.

Ответ:

X опт =

Знак системы
0
0
110
90
Знак системы
150
30
0
0
0
150
40
0
0
0
0
50

Smin = 1460 ден. ед.





© 2010–2015


Ссылки