Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №6. Транспортная задача. Метод северо-западного угла (фиктивный потребитель).

Транспортная задача.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Стоимость доставки единицы продукции от поставщика к потребителю располагается в правом нижнем углу ячейки.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4
A 1
8
3
5
2
  10  
A 2
4
1
6
7
  20  
A 3
1
9
4
3
  25  
  Потребность   5 10 20 15
Требуется составить план перевозок, при котором общая стоимость доставки продукции будет наименьшей.
Решение:
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
cуммарные запасы продукции у поставщиков должны равняться суммарной потребности потребителей.

Проверим.
Запасы поставщиков: 10 + 20 + 25 = 55 единиц продукции.
Потребность потребителей: 5 + 10 + 20 + 15 = 50 единиц продукции.
Разница в 5 единиц продукции.
Введем в рассмотрение фиктивного потребителя B5, с потребностью 5 единиц продукции.
Стоимость доставки единицы продукции от всех поставщиков к потребителю B5 примем равной нулю (см. таблицу ниже).
Теперь суммарные запасы продукции у поставщиков равны суммарной потребности потребителей.
Для решения задачи необходимо выполнение следующего условия:
количество задействованных маршрутов = количество поставщиков + количество потребителей - 1.

Поэтому если возникнет ситуация, в которой будет необходимо исключить столбец и строку одновременно, мы исключим что-то одно.
Начинаем заполнять таблицу от левого верхнего угла и постепенно "двигаемся" к правому нижнему.
От северо-запада к юго-востоку.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
8
3
5
2
0
  10  
A 2
4
1
6
7
0
  20  
A 3
1
9
4
3
0
  25  
  Потребность   5 10 20 15 5
5 = min { 5, 10 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
2
0
  10   5  
A 2
4
1
6
7
0
  20  
A 3
1
9
4
3
0
  25  
  Потребность   5
нет
10 20 15 5
5 = min { 10, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
1
6
7
0
  20  
A 3
1
9
4
3
0
  25  
  Потребность   5
нет
10
5
20 15 5
5 = min { 5, 20 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
5
1
6
7
0
  20   15  
A 3
1
9
4
3
0
  25  
  Потребность   5
нет
10
5
нет
20 15 5
15 = min { 20, 15 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20   15   нет  
A 3
1
9
4
3
0
  25  
  Потребность   5
нет
10
5
нет
20
5
15 5
5 = min { 5, 25 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20   15   нет  
A 3
1
9
5
4
3
0
  25   20  
  Потребность   5
нет
10
5
нет
20
5
нет
15 5
15 = min { 15, 20 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20   15   нет  
A 3
1
9
5
4
15
3
0
  25   20   5  
  Потребность   5
нет
10
5
нет
20
5
нет
15
нет
5
5 = min { 5, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  10   5   нет  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20   15   нет  
A 3
1
9
5
4
15
3
5
0
  25   20   5   нет  
  Потребность   5
нет
10
5
нет
20
5
нет
15
нет
5
нет
Стоимость доставки продукции, для начального решения, не сложно посчитать.

5*8 + 5*3 + 5*1 + 15*6 + 5*4 + 15*3 + 5*0 = 215 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u3 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A3B3 :   v3 + u3 = 4         v3 = 4 - 0 = 4
A3B4 :   v4 + u3 = 3         v4 = 3 - 0 = 3
A3B5 :   v5 + u3 = 0         v5 = 0 - 0 = 0
A2B3 :   v3 + u2 = 6         u2 = 6 - 4 = 2
A2B2 :   v2 + u2 = 1         v2 = 1 - 2 = -1
A1B2 :   v2 + u1 = 3         u1 = 3 - (-1) = 4
A1B1 :   v1 + u1 = 8         v1 = 8 - 4 = 4
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B3 :   Δ13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( 4 + 4 ) = -3
A1B4 :   Δ14 = c14 - ( u1 + v4 ) = 2 - ( 4 + 3 ) = -5
A1B5 :   Δ15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 0 - ( 4 + 0 ) = -4
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 4 - ( 2 + 4 ) = -2
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 7 - ( 2 + 3 ) = 2
A2B5 :   Δ25 = c25 - ( u2 + v5 ) = 0 - ( 2 + 0 ) = -2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 1 - ( 0 + 4 ) = -3
A3B2 :   Δ32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( 0 + -1 ) = 10
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
2
0
  u1 = 4  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  u2 = 2  
A 3
1
9
5
4
15
3
5
0
  u3 = 0  
  V     v1 = 4     v2 = -1     v3 = 4     v4 = 3     v5 = 0  
Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №1.
Выберем ячейку A1B4, ее оценка отрицательная. Поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A1B4.
Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку.
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки.
Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
-5
2
0
  10  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20  
A 3
1
9
5
4
15
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
5 = min { 5, 15, 15 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5
3
5
-5
2
0
  10  
A 2
4
5
1
15
6
7
0
  20  
A 3
1
9
5
4
15
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
2 * 5 - 3 * 5 + 1 * 5 - 6 * 5 + 4 * 5 - 3 * 5 = ( 2 - 3 + 1 - 6 + 4 - 3 ) * 5 = -5 * 5 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -5 * 5 = Δ14 * 5
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
5 - 5
3
5
+5
-5
2
0
  10  
A 2
4
5 + 5
1
15 - 5
6
7
0
  20  
A 3
1
9
5 + 5
4
15 - 5
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Получили новое решение.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
10
6
7
0
  20  
A 3
1
9
10
4
10
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 215 + Δ14 * 5 = 215 -5 * 5 = 190 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u3 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A3B3 :   v3 + u3 = 4         v3 = 4 - 0 = 4
A3B4 :   v4 + u3 = 3         v4 = 3 - 0 = 3
A3B5 :   v5 + u3 = 0         v5 = 0 - 0 = 0
A1B4 :   v4 + u1 = 2         u1 = 2 - 3 = -1
A2B3 :   v3 + u2 = 6         u2 = 6 - 4 = 2
A1B1 :   v1 + u1 = 8         v1 = 8 - (-1) = 9
A2B2 :   v2 + u2 = 1         v2 = 1 - 2 = -1
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( -1 + -1 ) = 5
A1B3 :   Δ13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( -1 + 4 ) = 2
A1B5 :   Δ15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 0 - ( -1 + 0 ) = 1
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 4 - ( 2 + 9 ) = -7
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 7 - ( 2 + 3 ) = 2
A2B5 :   Δ25 = c25 - ( u2 + v5 ) = 0 - ( 2 + 0 ) = -2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 1 - ( 0 + 9 ) = -8
A3B2 :   Δ32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( 0 + -1 ) = 10
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  u1 = -1  
A 2
4
10
1
10
6
7
0
  u2 = 2  
A 3
1
9
10
4
10
3
5
0
  u3 = 0  
  V     v1 = 9     v2 = -1     v3 = 4     v4 = 3     v5 = 0  
Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №2.
Выберем ячейку A2B5, ее оценка отрицательная. Поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A2B5.
Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку.
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки.
Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
10
6
7
-2
0
  20  
A 3
1
9
10
4
10
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
5 = min { 10, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
10
6
7
-2
0
  20  
A 3
1
9
10
4
10
3
5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
0 * 5 - 6 * 5 + 4 * 5 - 0 * 5 = ( 0 - 6 + 4 - 0 ) * 5 = -2 * 5 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -2 * 5 = Δ25 * 5
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
10 - 5
6
7
+5
-2
0
  20  
A 3
1
9
10 + 5
4
10
3
5 - 5
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Получили новое решение.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  20  
A 3
1
9
15
4
10
3
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 190 + Δ25 * 5 = 190 -2 * 5 = 180 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u2 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A2B2 :   v2 + u2 = 1         v2 = 1 - 0 = 1
A2B3 :   v3 + u2 = 6         v3 = 6 - 0 = 6
A2B5 :   v5 + u2 = 0         v5 = 0 - 0 = 0
A3B3 :   v3 + u3 = 4         u3 = 4 - 6 = -2
A3B4 :   v4 + u3 = 3         v4 = 3 - (-2) = 5
A1B4 :   v4 + u1 = 2         u1 = 2 - 5 = -3
A1B1 :   v1 + u1 = 8         v1 = 8 - (-3) = 11
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( -3 + 1 ) = 5
A1B3 :   Δ13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( -3 + 6 ) = 2
A1B5 :   Δ15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 0 - ( -3 + 0 ) = 3
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 4 - ( 0 + 11 ) = -7
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 7 - ( 0 + 5 ) = 2
A3B1 :   Δ31 = c31 - ( u3 + v1 ) = 1 - ( -2 + 11 ) = -8
A3B2 :   Δ32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( -2 + 1 ) = 10
A3B5 :   Δ35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 0 - ( -2 + 0 ) = 2
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  u1 = -3  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  u2 = 0  
A 3
1
9
15
4
10
3
0
  u3 = -2  
  V     v1 = 11     v2 = 1     v3 = 6     v4 = 5     v5 = 0  
Есть отрицательные оценки, следовательно, возможно получить новое решение, как минимум, не хуже имеющегося.
ШАГ №3.
Выберем ячейку A3B1, ее оценка отрицательная. Поставьте курсор мыши в выбранную ячейку A3B1.
Используя горизонтальные и вертикальные перемещения курсора, соедините непрерывной линией заполненные ячейки так, чтобы вернуться в исходную ячейку.
Ячейки, расположенные в вершинах построенной ломаной линии, образуют цикл для выбранной ячейки.
Он единственный. Направление обхода не имеет значения.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  20  
A 3
-8
1
9
15
4
10
3
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
5 = min { 10, 5 }
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5
8
3
5
5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  20  
A 3
-8
1
9
15
4
10
3
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Данное преобразование не изменит баланса.
А вот общая стоимость доставки продукции изменится на величину:
1 * 5 - 3 * 5 + 2 * 5 - 8 * 5 = ( 1 - 3 + 2 - 8 ) * 5 = -8 * 5 ден. ед.
Вы правильно заметили, что -8 * 5 = Δ31 * 5
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
5 - 5
8
3
5
5 + 5
2
0
  10  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  20  
A 3
+5
-8
1
9
15
4
10 - 5
3
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Получили новое решение.
Поставщик Потребитель   Запас  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
8
3
5
10
2
0
  10  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  20  
A 3
5
1
9
15
4
5
3
0
  25  
  Потребность     5     10     20     15     5  
Общую сумму доставки продукции, для данного решения, легко посчитать.

S = 180 + Δ31 * 5 = 180 -8 * 5 = 140 ден. ед.

Полученное решение является оптимальным?
Проверим.
Каждому поставщику A i ставим в соответствие некоторое число u i , называемое потенциалом поставщика.
Каждому потребителю B j ставим в соответствие некоторое число v j , называемое потенциалом потребителя.
Для задействованного маршрута, сумма потенциалов поставщика и потребителя равна тарифу задействованного маршрута.
Значение одного потенциала необходимо задать. Пусть u2 = 0.
Последовательно найдем значения потенциалов.
A2B2 :   v2 + u2 = 1         v2 = 1 - 0 = 1
A2B3 :   v3 + u2 = 6         v3 = 6 - 0 = 6
A2B5 :   v5 + u2 = 0         v5 = 0 - 0 = 0
A3B3 :   v3 + u3 = 4         u3 = 4 - 6 = -2
A3B4 :   v4 + u3 = 3         v4 = 3 - (-2) = 5
A1B4 :   v4 + u1 = 2         u1 = 2 - 5 = -3
A3B1 :   v1 + u3 = 1         v1 = 1 - (-2) = 3
Найдем оценки незадействованных маршрутов.
A1B1 :   Δ11 = c11 - ( u1 + v1 ) = 8 - ( -3 + 3 ) = 8
A1B2 :   Δ12 = c12 - ( u1 + v2 ) = 3 - ( -3 + 1 ) = 5
A1B3 :   Δ13 = c13 - ( u1 + v3 ) = 5 - ( -3 + 6 ) = 2
A1B5 :   Δ15 = c15 - ( u1 + v5 ) = 0 - ( -3 + 0 ) = 3
A2B1 :   Δ21 = c21 - ( u2 + v1 ) = 4 - ( 0 + 3 ) = 1
A2B4 :   Δ24 = c24 - ( u2 + v4 ) = 7 - ( 0 + 5 ) = 2
A3B2 :   Δ32 = c32 - ( u3 + v2 ) = 9 - ( -2 + 1 ) = 10
A3B5 :   Δ35 = c35 - ( u3 + v5 ) = 0 - ( -2 + 0 ) = 2
Поставщик Потребитель   U  
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A 1
8
3
5
10
2
0
  u1 = -3  
A 2
4
10
1
5
6
7
5
0
  u2 = 0  
A 3
5
1
9
15
4
5
3
0
  u3 = -2  
  V     v1 = 3     v2 = 1     v3 = 6     v4 = 5     v5 = 0  
Нет отрицательных оценок, следовательно, уменьшить общую стоимость достаки продукции невозможно.

Ответ:

X опт =

Знак системы
0
0
0
10
0
Знак системы
0
10
5
0
5
5
0
15
5
0

Smin = 140 ден. ед.











© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки