Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №1. Вычисление определителя матрицы третьего порядка

Вычисление определителя матрицы

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.
Ниже представлены восемь вариантов вычисления определителя третьего порядка.
Как правило, первый вариант решения предпочтительнее.

1.

det A =231 =
252
341
Из элементов столбца 2 вычитаем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 3. (Подробнее)
= 23 - 1 * 31 =
25 - 2 * 32
34 - 1 * 31
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 201 =
2-12
311
Из элементов столбца 1 вычитаем соответствующие элементы столбца 3, умноженные на 2. (Подробнее)
= 2 - 1 * 201 =
2 - 2 * 2-12
3 - 1 * 211
Использовали свойство определителя.
Если из элементов любого столбца вычесть (прибавить) соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольное число, то определитель не изменится.
Для строк все аналогично.
Скрыть
= 001 =
-2-12
111

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
001
-2-12
111
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 0 *
-12
11
001
-2-12
111
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 0 *
-22
11
001
-2-12
111
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 1 *
-2-1
11
Складываем полученные произведения.
Если элемент равен нулю, тогда нет смысла записывать произведение с ним, оно также равно нулю.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 1 * -2-1=
11
= -2-1=
11
= -2 * 1 - ( -1) * 1 =
= -2 + 1 =
= -1

2.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам первой строки. (Подробнее)
231
252
341
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 2 *
52
41
231
252
341
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 3 *
22
31
231
252
341
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 1 *
25
34
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 2 * 52+
41
( - 1 ) 1 + 2 * 3 * 22+
31
( - 1 ) 1 + 3 * 1 * 25=
34
= 2 * 52
41
- 3 * 22
31
+ 25=
34
= 2 * ( 5 * 1 - 2 * 4 ) - 3 * ( 2 * 1 - 2 * 3 ) + ( 2 * 4 - 5 * 3 ) =
= 2 * ( 5 - 8 ) - 3 * ( 2 - 6 ) + ( 8 - 15 ) =
= - 6 + 12 - 7 =
= -1

3.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам второй строки. (Подробнее)
231
252
341
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 2 *
31
41
231
252
341
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 5 *
21
31
231
252
341
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 2 *
23
34
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 2 + 1 * 2 * 31+
41
( - 1 ) 2 + 2 * 5 * 21+
31
( - 1 ) 2 + 3 * 2 * 23=
34
= - 2 * 31
41
+ 5 * 21
31
- 2 * 23=
34
= - 2 * ( 3 * 1 - 1 * 4 ) + 5 * ( 2 * 1 - 1 * 3 ) - 2 * ( 2 * 4 - 3 * 3 ) =
= - 2 * ( 3 - 4 ) + 5 * ( 2 - 3 ) - 2 * ( 8 - 9 ) =
= 2 - 5 + 2 =
= -1

4.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам третьей строки. (Подробнее)
231
252
341
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 3 *
31
52
231
252
341
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 4 *
21
22
231
252
341
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 1 *
23
25
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 3 + 1 * 3 * 31+
52
( - 1 ) 3 + 2 * 4 * 21+
22
( - 1 ) 3 + 3 * 1 * 23=
25
= 3 * 31
52
- 4 * 21
22
+ 23=
25
= 3 * ( 3 * 2 - 1 * 5 ) - 4 * ( 2 * 2 - 1 * 2 ) + ( 2 * 5 - 3 * 2 ) =
= 3 * ( 6 - 5 ) - 4 * ( 4 - 2 ) + ( 10 - 6 ) =
= 3 - 8 + 4 =
= -1

5.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам первого столбца. (Подробнее)
231
252
341
1 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 1
( - 1 ) 1 + 1 * 2 *
52
41
231
252
341
2 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 1
( - 1 ) 2 + 1 * 2 *
31
41
231
252
341
3 - номер строки
1 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 1
( - 1 ) 3 + 1 * 3 *
31
52
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 1 * 2 * 52+
41
( - 1 ) 2 + 1 * 2 * 31+
41
( - 1 ) 3 + 1 * 3 * 31=
52
= 2 * 52
41
- 2 * 31
41
+ 3 * 31=
52
= 2 * ( 5 * 1 - 2 * 4 ) - 2 * ( 3 * 1 - 1 * 4 ) + 3 * ( 3 * 2 - 1 * 5 ) =
= 2 * ( 5 - 8 ) - 2 * ( 3 - 4 ) + 3 * ( 6 - 5 ) =
= - 6 + 2 + 3 =
= -1

6.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам второго столбца. (Подробнее)
231
252
341
1 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 2
( - 1 ) 1 + 2 * 3 *
22
31
231
252
341
2 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 2
( - 1 ) 2 + 2 * 5 *
21
31
231
252
341
3 - номер строки
2 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 2
( - 1 ) 3 + 2 * 4 *
21
22
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 2 * 3 * 22+
31
( - 1 ) 2 + 2 * 5 * 21+
31
( - 1 ) 3 + 2 * 4 * 21=
22
= - 3 * 22
31
+ 5 * 21
31
- 4 * 21=
22
= - 3 * ( 2 * 1 - 2 * 3 ) + 5 * ( 2 * 1 - 1 * 3 ) - 4 * ( 2 * 2 - 1 * 2 ) =
= - 3 * ( 2 - 6 ) + 5 * ( 2 - 3 ) - 4 * ( 4 - 2 ) =
= 12 - 5 - 8 =
= -1

7.

det A =231 =
252
341

Разлагаем определитель по элементам третьего столбца. (Подробнее)
231
252
341
1 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 1 и столбец 3
( - 1 ) 1 + 3 * 1 *
25
34
231
252
341
2 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 2 и столбец 3
( - 1 ) 2 + 3 * 2 *
23
34
231
252
341
3 - номер строки
3 - номер столбца
Элемент Вычеркнули строку 3 и столбец 3
( - 1 ) 3 + 3 * 1 *
23
25
Складываем полученные произведения.
= ( - 1 ) 1 + 3 * 1 * 25+
34
( - 1 ) 2 + 3 * 2 * 23+
34
( - 1 ) 3 + 3 * 1 * 23=
25
= 25
34
- 2 * 23
34
+ 23=
25
= ( 2 * 4 - 5 * 3 ) - 2 * ( 2 * 4 - 3 * 3 ) + ( 2 * 5 - 3 * 2 ) =
= ( 8 - 15 ) - 2 * ( 8 - 9 ) + ( 10 - 6 ) =
= - 7 + 2 + 4 =
= -1

8. Правило Саррюса

det A =231 =
252
341
2312 * 5 * 1
252
341
2311 * 5 * 3
252
341
2313 * 2 * 3
252
341
2313 * 2 * 1
252
341
2311 * 2 * 4
252
341
2312 * 2 * 4
252
341
Первые три произведения складываем. Из полученной суммы вычитаем оставшиеся три произведения.
Правило Саррюса необходимо просто запомнить.
Скрыть
= 2 * 5 * 1   +   3 * 2 * 3    +   1 * 2 * 4   -   1 * 5 * 3   -   3 * 2 * 1   -   2 * 2 * 4 =
= 10 + 18 + 8 - 15 - 6 - 16 =
= -1









© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки