Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №5. Решение системы уравнений методом Жордана - Гаусса (множество решений)

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и методом Жордана-Гаусса

Задача:
Решить систему уравнений методом Жордана - Гаусса.

Знак системы 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 5
2 x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 4
3 x1 + x2 + x3 + x4 = 6

Решение:
Процесс решения системы уравнений методом Жордана - Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе система приводится к ступенчатому виду, путем последовательного исключения переменных.

На каждом шаге решения справа располагается расширенная матрица, эквивалентная системе уравнений.
Каждая строка матрицы представляет собой уравнение системы (сравните сами).
Данная форма решения менее наглядная, но позволяет не переписывать каждый раз переменные, что существенно экономит время.
  • Исключим переменную x1 из всех уравнений, за исключением первого.
  • Из уравнения 2 вычитаем уравнение 3   (избегаем вычислений в дробях).
    Знак системы 2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 5
    - x1 + x3 = -2
    3 x1 + x2 + x3 + x4 = 6
    Знак системы 2 2 3 1 5 Знак системы
    -1 0 1 0 -2
    3 1 1 1 6
    Поменяем местами уравнения   1   и   2   (порядок уравнений в системе не имеет значения).
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    2 x1 + 2 x2 + 3 x3 + x4 = 5
    3 x1 + x2 + x3 + x4 = 6
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    2 2 3 1 5
    3 1 1 1 6
    К уравнению 2 прибавим уравнение 1, умноженное на 2.
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    2 x2 + 5 x3 + x4 = 1
    3 x1 + x2 + x3 + x4 = 6
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    0 2 5 1 1
    3 1 1 1 6
    К уравнению 3 прибавим уравнение 1, умноженное на 3.
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    2 x2 + 5 x3 + x4 = 1
    x2 + 4 x3 + x4 = 0
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    0 2 5 1 1
    0 1 4 1 0
  • Исключим переменную x2 из последнего уравнения.
  • Поменяем местами уравнения   2   и   3   (порядок уравнений в системе не имеет значения).
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    x2 + 4 x3 + x4 = 0
    2 x2 + 5 x3 + x4 = 1
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    0 1 4 1 0
    0 2 5 1 1
    Из уравнения 3 вычитаем уравнение 2, умноженное на 2.
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    x2 + 4 x3 + x4 = 0
    - 3 x3 - x4 = 1
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    0 1 4 1 0
    0 0 -3 -1 1
    Если посмотреть на получившеюся систему, то видно, что она приведена к ступенчатому виду.
    Данное обстоятельство позволит последовательно найти значения переменных.
    Начнем с последнего уравнения.
    Коэффициенты уравнения 3 разделим на -3.
    Знак системы - x1 + x3 = -2
    x2 + 4 x3 + x4 = 0
    x3 + 1/3 x4 = -1/3
    Знак системы -1 0 1 0 -2 Знак системы
    0 1 4 1 0
    0 0 1 1/3 -1/3
  • Исключим переменную x3 из всех уравнений, за исключением последнего.
  • Из уравнения 1 вычитаем уравнение 3.
    Знак системы - x1 - 1/3 x4 = -5/3
    x2 + 4 x3 + x4 = 0
    x3 + 1/3 x4 = -1/3
    Знак системы -1 0 0 -1/3 -5/3 Знак системы
    0 1 4 1 0
    0 0 1 1/3 -1/3
    Из уравнения 2 вычитаем уравнение 3, умноженное на 4.
    Знак системы - x1 - 1/3 x4 = -5/3
    x2 - 1/3 x4 = 4/3
    x3 + 1/3 x4 = -1/3
    Знак системы -1 0 0 -1/3 -5/3 Знак системы
    0 1 0 -1/3 4/3
    0 0 1 1/3 -1/3
    Коэффициенты уравнения 1 разделим на -1.
    Знак системы x1 + 1/3 x4 = 5/3
    x2 - 1/3 x4 = 4/3
    x3 + 1/3 x4 = -1/3
    Знак системы 1 0 0 1/3 5/3 Знак системы
    0 1 0 -1/3 4/3
    0 0 1 1/3 -1/3

    Ответ:

    x1 = - 1/3 x4 + 5/3
    x2 = 1/3 x4 + 4/3
    x3 = - 1/3 x4 - 1/3
    x4 - свободная переменная.
    Выбрав для свободной переменной произвольное значение, можно получить частное решение данной системы.
    В данном случае, система имеет бесконечное множество решений.









    © 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



    Ссылки