 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №4. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.
Нахождение наименьшего значения функции (искусственный базис)
Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Пример №1. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции
Пример №2. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции
Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Пример №5. Симплекс метод. Решение не единственное
Пример №6. Симплекс метод. Функция неограниченно возрастает
Пример №7. Симплекс метод. Функция неограниченно убывает
Пример №8. Симплекс метод. Область допустимых решений - пустое множество
Пример №2. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции
Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Пример №5. Симплекс метод. Решение не единственное
Пример №6. Симплекс метод. Функция неограниченно возрастает
Пример №7. Симплекс метод. Функция неограниченно убывает
Пример №8. Симплекс метод. Область допустимых решений - пустое множество
Задача:
Найти наименьшее значение функции
| F | = | - | x1 | + | 3 | x2 |
при следующих ограничениях:
 | x1 | + | 2 | x2 | ≤ | 4 | ||
| x1 | - | x2 | ≥ | 1 | ||||
| x1 | + | x2 | ≤ | 8 |
Решение:
1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.
2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
| | x1 | + | 2 | x2 | ≤ | 4 | ||
| x1 | - | x2 | ≥ | 1 | ||||
| x1 | + | x2 | ≤ | 8 |
| | x1 | + | 2 | x2 | + | S1 | = | 4 | |||||||||
| x1 | - | x2 | - | S2 | = | 1 | |||||||||||
| x1 | + | x2 | + | S3 | = | 8 |
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0. Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.
3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наименьшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не больше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наименьший отрицательный коэффициент (можно выбрать любой отрицательный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не больше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наименьшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не больше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наименьший отрицательный коэффициент (можно выбрать любой отрицательный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не больше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис?
| | x1 | + | 2 | x2 | + | S1 | = | 4 | |||||||||
| x1 | - | x2 | - | S2 | = | 1 | |||||||||||
| x1 | + | x2 | + | S3 | = | 8 |
Базиса нет, т.е. мы не можем начать решение.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.
| | x1 | + | 2 | x2 | + | S1 | = | 4 | ||||||||||||
| x1 | - | x2 | - | S2 | + | R1 | = | 1 | ||||||||||||
| x1 | + | x2 | + | S3 | = | 8 |
R1 ≥ 0. Введенная переменная R1, называется искусственной переменной.
Введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение.
| W | = | R1 |
|
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно.
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно.
| x1 = 0 x2 = 0 S2 = 0 S1 = 4 S3 = 8 R1 = 1 |
=> W = 1 |
Шаг №1
| x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | R1 | св. член | Θ |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | 4 : 1 = 4 |
| 1 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 | 1 : 1 = 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 8 | 8 : 1 = 8 |
| -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | W - 1 | |
| 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | -1 | 3 | |
| 1 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | -1 | 7 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | W - 0 |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
| x2 = 0 S2 = 0 R1 = 0 x1 = 1 S1 = 3 S3 = 7 |
=> W - 0 = 0 => W = 0 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных. Следовательно, найдено наименьшее значение функции W.
Получен базис без использования искусственной переменной. Что и требовалось.
Столбец, соответствующий искусственной переменной можно вычеркнуть.
В итоге, наша система выглядит следующим образом:
Получен базис без использования искусственной переменной. Что и требовалось.
Столбец, соответствующий искусственной переменной можно вычеркнуть.
В итоге, наша система выглядит следующим образом:
| | 3 | x2 | + | S1 | + | S2 | = | 3 | |||||||||
| x1 | - | x2 | - | S2 | = | 1 | |||||||||||
| 2 | x2 | + | S2 | + | S3 | = | 7 |
| F | = | - | x1 | + | 3 | x2 |
|
|
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно.
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно.
| x2 = 0 S2 = 0 x1 = 1 S1 = 3 S3 = 7 |
=> F = -1 |
Начальный базис найден и получено значение функции F, соответствующее найденному базису.
4. Нахождение наименьшего значения функции F.
Шаг №1
| x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | св. член | Θ |
| 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 | 3 : 1 = 3 |
| 1 | -1 | 0 | -1 | 0 | 1 | |
| 0 | 2 | 0 | 1 | 1 | 7 | 7 : 1 = 7 |
| 0 | 2 | 0 | -1 | 0 | F + 1 | |
| 0 | 3 | 1 | 1 | 0 | 3 | |
| 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 4 | |
| 0 | -1 | -1 | 0 | 1 | 4 | |
| 0 | 5 | 1 | 0 | 0 | F + 4 |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
| x2 = 0 S1 = 0 x1 = 4 S2 = 3 S3 = 4 |
=> F + 4 = 0 => F = -4 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных. Следовательно, найдено наименьшее значение функции F.
Ответ: