Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи
English

Пример №6. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.
Функция неограниченно возрастает

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Задача:

Найти наибольшее значение функции
F = x1 + x2
при следующих ограничениях:
Знак системы - x1 + 2 x2 1
x1 - 2 x2 2
x1 ≥ 0    x2 ≥ 0    

Решение:

1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.

2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
Знак системы - x1 + 2 x2 1
x1 - 2 x2 2
Знак системы - x1 + 2 x2 + S1 = 1
x1 - 2 x2 + S2 = 2
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0.   Введенные переменные S1, S2, называются балансовыми переменными.

3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.

Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.

В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.

В нашей системе есть базис?
Знак системы - x1 + 2 x2 + S1 = 1
x1 - 2 x2 + S2 = 2
Базис есть, т.е. мы можем начать решение.
F = x1 + x2
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно.
x1 = 0   x2 = 0  
S1 = 1   S2 = 2  
=> F = 0
Начальный базис найден и получено значение функции F, соответствующее найденному базису.

4. Нахождение наибольшего значения функции F.

Шаг №1
x1 x2 S1 S2 св. член Θ
-1 2 1 0 1
1 -2 0 1 2 2 : 1 = 2
1 1 0 0 F - 0
0 0 1 1 3
1 -2 0 1 2
0 3 0 -1 F - 2
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
x2 = 0   S2 = 0  
x1 = 2   S1 = 3  
=> F - 2 = 0   => F = 2

На позиции 2 в выделенной строке стоит положительный коэффициент, а среди коэффициентов столбца 2 нет положительных.
Следовательно, функция F неограниченно возрастает.
Ответ:

Fmax = + ∞









© 2010-2021

Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru


Ссылки