Пример №8. Решение задачи линейного программирования симплекс методом. Область допустимых решений - пустое множествоДанное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Задача:
Найти наибольшее значение функции при следующих ограничениях: | | 3 | x1 | + | 5 | x2 | ≤ | 30 | | 4 | x1 | - | 3 | x2 | ≤ | 12 | | | x1 | - | 3 | x2 | ≥ | 6 | x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Решение:
1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными. Данное условие выполнено.
2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение. | | 3 | x1 | + | 5 | x2 | ≤ | 30 | | 4 | x1 | - | 3 | x2 | ≤ | 12 | | | x1 | - | 3 | x2 | ≥ | 6 |
| | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | | S1 | | | | | | | = | 30 | | 4 | x1 | - | 3 | x2 | | | | + | | S2 | | | | = | 12 | | | x1 | - | 3 | x2 | | | | | | | - | | S3 | = | 6 |
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0. Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.
3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Что такое базис? Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому. Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис? | | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | | S1 | | | | | | | = | 30 | | 4 | x1 | - | 3 | x2 | | | | + | | S2 | | | | = | 12 | | | x1 | - | 3 | x2 | | | | | | | - | | S3 | = | 6 |
Базиса нет, т.е. мы не можем начать решение. Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу. Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной. | | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | | S1 | | | | | | | | | | = | 30 | | 4 | x1 | - | 3 | x2 | | | | + | | S2 | | | | | | | = | 12 | | | x1 | - | 3 | x2 | | | | | | | - | | S3 | + | | R1 | = | 6 |
R1 ≥ 0. Введенная переменная R1, называется искусственной переменной. Введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение. Алгоритм нахождения наименьшего значения функции W имеет только одно отличие от алгоритма, рассмотренного выше. Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно.
x1 = 0 x2 = 0 S3 = 0 S1 = 30 S2 = 12 R1 = 6 |
=> W = 6 |
Шаг №1
x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | R1 | св. член | Θ | 3 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | 30 : 3 = 10 | 4 | -3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 12 | 12 : 4 = 3 | 1 | -3 | 0 | 0 | -1 | 1 | 6 | 6 : 1 = 6 | -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | W - 6 | | 3 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | | 1 | -3/4 | 0 | 1/4 | 0 | 0 | 3 | | 1 | -3 | 0 | 0 | -1 | 1 | 6 | | -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | W - 6 | | 0 | 29/4 | 1 | -3/4 | 0 | 0 | 21 | | 1 | -3/4 | 0 | 1/4 | 0 | 0 | 3 | | 0 | -9/4 | 0 | -1/4 | -1 | 1 | 3 | | 0 | 9/4 | 0 | 1/4 | 1 | 0 | W - 3 | |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
x2 = 0 S2 = 0 S3 = 0 x1 = 3 S1 = 21 R1 = 3 |
=> W - 3 = 0 => W = 3 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных.
Следовательно, найдено наименьшее значение функции W.
Но в базисе по-прежнему содержатся искусственные переменные.
Следовательно, область допустимых решений исходной задачи - пустое множество. Ответ: Область допустимых решений задачи - пустое множество.
© 2010-2023 Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru
Ссылки
|