 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №8. Решение задачи линейного программирования симплекс методом.
Область допустимых решений - пустое множество
Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Пример №1. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции
Пример №2. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции
Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Пример №4. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции (искусственный базис)
Пример №5. Симплекс метод. Решение не единственное
Пример №6. Симплекс метод. Функция неограниченно возрастает
Пример №7. Симплекс метод. Функция неограниченно убывает
Пример №2. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции
Пример №3. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции (искусственный базис)
Пример №4. Симплекс метод. Нахождение наименьшего значения функции (искусственный базис)
Пример №5. Симплекс метод. Решение не единственное
Пример №6. Симплекс метод. Функция неограниченно возрастает
Пример №7. Симплекс метод. Функция неограниченно убывает
Задача:
Найти наибольшее значение функции
| F | = | x1 | + | x2 |
при следующих ограничениях:
 | 3 | x1 | + | 5 | x2 | ≤ | 30 | |
| 4 | x1 | - | 3 | x2 | ≤ | 12 | ||
| x1 | - | 3 | x2 | ≥ | 6 |
Решение:
1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено.
2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение.
| | 3 | x1 | + | 5 | x2 | ≤ | 30 | |
| 4 | x1 | - | 3 | x2 | ≤ | 12 | ||
| x1 | - | 3 | x2 | ≥ | 6 |
| | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | S1 | = | 30 | ||||||||
| 4 | x1 | - | 3 | x2 | + | S2 | = | 12 | |||||||||
| x1 | - | 3 | x2 | - | S3 | = | 6 |
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0. Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.
3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Что такое базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис?
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому.
Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение.
Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис?
| | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | S1 | = | 30 | ||||||||
| 4 | x1 | - | 3 | x2 | + | S2 | = | 12 | |||||||||
| x1 | - | 3 | x2 | - | S3 | = | 6 |
Базиса нет, т.е. мы не можем начать решение.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.
Придется его найти. Для этого решим вспомогательную задачу.
Добавим искусственную переменную в то уравнение, где нет базисной переменной.
| | 3 | x1 | + | 5 | x2 | + | S1 | = | 30 | |||||||||||
| 4 | x1 | - | 3 | x2 | + | S2 | = | 12 | ||||||||||||
| x1 | - | 3 | x2 | - | S3 | + | R1 | = | 6 |
R1 ≥ 0. Введенная переменная R1, называется искусственной переменной.
Введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение.
Алгоритм нахождения наименьшего значения функции W имеет только одно отличие от алгоритма, рассмотренного выше.
| W | = | R1 |
|
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно.
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно.
| x1 = 0 x2 = 0 S3 = 0 S1 = 30 S2 = 12 R1 = 6 |
=> W = 6 |
Шаг №1
| x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | R1 | св. член | Θ |
| 3 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | 30 : 3 = 10 |
| 4 | -3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 12 | 12 : 4 = 3 |
| 1 | -3 | 0 | 0 | -1 | 1 | 6 | 6 : 1 = 6 |
| -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | W - 6 | |
| 3 | 5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 30 | |
| 1 | -3/4 | 0 | 1/4 | 0 | 0 | 3 | |
| 1 | -3 | 0 | 0 | -1 | 1 | 6 | |
| -1 | 3 | 0 | 0 | 1 | 0 | W - 6 | |
| 0 | 29/4 | 1 | -3/4 | 0 | 0 | 21 | |
| 1 | -3/4 | 0 | 1/4 | 0 | 0 | 3 | |
| 0 | -9/4 | 0 | -1/4 | -1 | 1 | 3 | |
| 0 | 9/4 | 0 | 1/4 | 1 | 0 | W - 3 |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
Функция W выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции W, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
| x2 = 0 S2 = 0 S3 = 0 x1 = 3 S1 = 21 R1 = 3 |
=> W - 3 = 0 => W = 3 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных.
Следовательно, найдено наименьшее значение функции W.
Но в базисе по-прежнему содержатся искусственные переменные.
Следовательно, область допустимых решений исходной задачи - пустое множество.
Но в базисе по-прежнему содержатся искусственные переменные.
Следовательно, область допустимых решений исходной задачи - пустое множество.
Ответ: