Пример №5. Решение задачи линейного программирования симплекс методом. Решение не единственноеДанное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Задача:
Найти наибольшее значение функции при следующих ограничениях: | | | x1 | + | 2 | x2 | ≤ | 6 | | 2 | x1 | + | | x2 | ≤ | 8 | | | | | | x2 | ≤ | 2 | x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Решение:
1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными. Данное условие выполнено.
2. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение. | | | x1 | + | 2 | x2 | ≤ | 6 | | 2 | x1 | + | | x2 | ≤ | 8 | | | | | | x2 | ≤ | 2 |
| | | x1 | + | 2 | x2 | + | | S1 | | | | | | | = | 6 | | 2 | x1 | + | | x2 | | | | + | | S2 | | | | = | 8 | | | | | | x2 | | | | | | | + | | S3 | = | 2 |
S1 ≥ 0, S2 ≥ 0, S3 ≥ 0. Введенные переменные S1, S2, S3, называются балансовыми переменными.
3. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Что такое базис? Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения системы (при условии, что в правой части уравнения стоит неотрицательное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
В чем заключается идея симплекс метода?
Каждому базису соответствует единственное значение функции. Одно из них является наибольшим значением функции F.
Мы будем переходить от одного базиса к другому. Следующий базис будем выбирать таким образом, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Очевидно, количество возможных базисов для любой задачи число не очень большое.
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.
Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка таблицы эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (см. таблицу ниже). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент (можно выбрать любой положительный).
Это необходимо для того, чтобы получить значение функции F не меньше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался неотрицательным.
Выбрана строка.
Определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
В нашей системе есть базис? | | | x1 | + | 2 | x2 | + | | S1 | | | | | | | = | 6 | | 2 | x1 | + | | x2 | | | | + | | S2 | | | | = | 8 | | | | | | x2 | | | | | | | + | | S3 | = | 2 |
Базис есть, т.е. мы можем начать решение. Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. систему)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно.
x1 = 0 x2 = 0 S1 = 6 S2 = 8 S3 = 2 |
=> F = 0 |
Начальный базис найден и получено значение функции F, соответствующее найденному базису.
4. Нахождение наибольшего значения функции F.
Шаг №1
x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | св. член | Θ | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 6 | 6 : 2 = 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 8 | 8 : 1 = 8 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 : 1 = 2 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | F - 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 2 | | 2 | 0 | 0 | 1 | -1 | 6 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | | 1 | 0 | 0 | 0 | -2 | F - 4 | |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
x1 = 0 S3 = 0 x2 = 2 S1 = 2 S2 = 6 |
=> F - 4 = 0 => F = 4 |
Шаг №2
x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | св. член | Θ | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 2 | 2 : 1 = 2 | 2 | 0 | 0 | 1 | -1 | 6 | 6 : 2 = 3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | | 1 | 0 | 0 | 0 | -2 | F - 4 | | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 2 | | 0 | 0 | -2 | 1 | 3 | 2 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | F - 6 | |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
S1 = 0 S3 = 0 x1 = 2 x2 = 2 S2 = 2 |
=> F - 6 = 0 => F = 6 |
Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F. В столбце 5 коэффициент в выделенной строке равен нулю, а базисной переменной нет.
Это позволяет сделать вывод о том, что можно найти еще одно решение при котором F = 6.
Шаг №3
x1 | x2 | S1 | S2 | S3 | св. член | Θ | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 2 | | 0 | 0 | -2 | 1 | 3 | 2 | 2 : 3 ≈ 0,67 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 : 1 = 2 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | F - 6 | | 1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 2 | | 0 | 0 | -2/3 | 1/3 | 1 | 2/3 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 | | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | F - 6 | | 1 | 0 | -1/3 | 2/3 | 0 | 10/3 | | 0 | 0 | -2/3 | 1/3 | 1 | 2/3 | | 0 | 1 | 2/3 | -1/3 | 0 | 4/3 | | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | F - 6 | |
Приравниваем свободные переменные нулю. Устно находим значения базисных переменных. (см. таблицу)
Функция F выражена через свободные переменные. Поэтому значение функции F, для данного базиса, можно найти мгновенно. (см. выделенную строку таблицы)
S1 = 0 S2 = 0 x1 = 10/3 x2 = 4/3 S3 = 2/3 |
=> F - 6 = 0 => F = 6 |
С геометрической точки зрения, оба полученных решения являются точками пространства, т.е. образуют отрезок. Любая точка (любое решение), принадлежащая данному отрезку, также будет являться решением. Ответ: X1 = 2 * t + 10/3 * (1 - t) X2 = 2 * t + 4/3 * (1 - t) где 0 ≤ t ≤ 1Fmax = 6
© 2010-2023 Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите siteReshmat@yandex.ru
Ссылки
|