Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №10. Область допустимых решений - пустое множество.

Графический метод решения задачи линейного программирования.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Найти наибольшее значение функции

F = 3 x1 + 2 x2

при следующих ограничениях:

Знак системы 4 x1 - 3 x2 12
3 x1 + 5 x2 32
3 x1 - 8 x2 21

x1 ≥ 0     x2 ≥ 0
Решение:

Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.

Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)

Последние два шага (см. шаг 4 - шаг 5) служат непосредственно для получения ответа.

Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.

Подставив координаты любой точки A (x1, x2), принадлежащей области допустимых решений, в выражение функции F, можно получить значение функции в данной точке F(A).

По условию задачи: x1 ≥ 0     x2 ≥ 0.

Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке справа (вся первая четверть).

Риунок №0. Линейное программирование.

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

4 x1 - 3 x2  ≤  12

Построим прямую:   4 x1 - 3 x2 = 12

Пусть x1 =0 => - 3 x2 = 12 => x2 = -4

Пусть x2 =0 => 4 x1 = 12 => x1 = 3

Найдены коородинаты двух точек (0, -4) и (3 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.

4 x1 - 3 x2  ≤  12

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- 3 x2  ≤  - 4 x1 + 12

x2  ≥  4/3 x1 - 4

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №1. Линейное программирование.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

3 x1 + 5 x2  ≤  32

Построим прямую:   3 x1 + 5 x2 = 32

Пусть x1 =0 => 5 x2 = 32 => x2 = 32/5

Пусть x2 =0 => 3 x1 = 32 => x1 = 32/3

Найдены коородинаты двух точек (0, 32/5) и (32/3 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.

3 x1 + 5 x2  ≤  32

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

5 x2  ≤  - 3 x1 + 32

x2  ≤  - 3/5 x1 + 32/5

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №2. Линейное программирование.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

3 x1 - 8 x2  ≥  21

Построим прямую:   3 x1 - 8 x2 = 21

Пусть x1 =0 => - 8 x2 = 21 => x2 = -21/8

Пусть x2 =0 => 3 x1 = 21 => x1 = 7

Найдены коородинаты двух точек (0, -21/8) и (7 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.

3 x1 - 8 x2  ≥  21

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- 8 x2  ≥  - 3 x1 + 21

x2  ≤  3/8 x1 - 21/8

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (3).

Из рисунка видно, что данная область не имеет общих точек с областью допустимых решений, полученной на предыдущем шаге.

Риунок №3. Линейное программирование.

Ответ:

Область допустимых решений - пустое множество.

Функция F не обладает наибольшим значением.











© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки