 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №10. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Область допустимых решений - пустое множество
Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке
Пример №3. Функция достигает наибольшего значения на отрезке
Пример №4. Функция достигает наименьшего значения на отрезке
Пример №5. Функция достигает наибольшего значения на луче
Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче
F = x1 + x2
при следующих ограничениях:
 | 3 x1 | + | 5 x2 | ≤ | 30 | |
| 4 x1 | - | 3 x2 | ≤ | 12 | ||
| x1 | - | 3 x2 | ≥ | 6 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 4 - шаг 5)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
3 x1 + 5 x2 ≤ 30
Построим прямую: 3 x1 + 5 x2 = 30
Пусть x1 =0 => 5 x2 = 30 => x2 = 6
Пусть x2 =0 => 3 x1 = 30 => x1 = 10
Найдены коородинаты двух точек (0, 6) и (10 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
3 x1 + 5 x2 ≤ 30
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
5 x2 ≤ - 3 x1 + 30
x2 ≤ - 3/5 x1 + 6
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
4 x1 - 3 x2 ≤ 12
Построим прямую: 4 x1 - 3 x2 = 12
Пусть x1 =0 => - 3 x2 = 12 => x2 = -4
Пусть x2 =0 => 4 x1 = 12 => x1 = 3
Найдены коородинаты двух точек (0, -4) и (3 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
4 x1 - 3 x2 ≤ 12
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- 3 x2 ≤ - 4 x1 + 12
x2 ≥ 4/3 x1 - 4
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
x1 - 3 x2 ≥ 6
Построим прямую: x1 - 3 x2 = 6
Пусть x1 =0 => - 3 x2 = 6 => x2 = -2
Пусть x2 =0 => x1 = 6
Найдены коородинаты двух точек (0, -2) и (6 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 - 3 x2 ≥ 6
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- 3 x2 ≥ - x1 + 6
x2 ≤ 1/3 x1 - 2
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (3).
Из рисунка видно, что данная область не имеет общих точек с областью допустимых решений, полученной на предыдущем шаге.
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}