Сервис для решения задач по линейному программированию

и другие интересные типовые задачи
English

Пример №7. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Функция неограниченно возрастает

Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Задача:
Найти наибольшее значение функции

F = x1 + x2

при следующих ограничениях:

Знак системы 3 x1 + 2 x2 6
- x1 + x2 1
x1 - 2 x2 1

x1 ≥ 0     x2 ≥ 0
Решение:

Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.

Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)

Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 4 - шаг 5)

Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.

Посмотреть план решение этой задачи в картинках

По условию задачи: x1 ≥ 0     x2 ≥ 0.

Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

3 x1 + 2 x2  ≥  6

Построим прямую:   3 x1 + 2 x2 = 6

Пусть x1 =0 => 2 x2 = 6 => x2 = 3

Пусть x2 =0 => 3 x1 = 6 => x1 = 2

Найдены коородинаты двух точек (0, 3) и (2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.

3 x1 + 2 x2  ≥  6

Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2

2 x2  ≥  - 3 x1 + 6

x2  ≥  - 3/2 x1 + 3

Знак неравенства  ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

- x1 + x2  ≤  1

Построим прямую:   - x1 + x2 = 1

Пусть x1 =0 => x2 = 1

Пусть x2 =0 => - x1 = 1 => x1 = -1

Найдены коородинаты двух точек (0, 1) и (-1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.

- x1 + x2  ≤  1

Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2

x2  ≤  x1 + 1

Знак неравенства  ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x1 - 2 x2  ≤  1

Построим прямую:   x1 - 2 x2 = 1

Пусть x1 =0 => - 2 x2 = 1 => x2 = -1/2

Пусть x2 =0 => x1 = 1

Найдены коородинаты двух точек (0, -1/2) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).

Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 - 2 x2  ≤  1

Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2

- 2 x2  ≤  - x1 + 1

x2  ≥  1/2 x1 - 1/2

Знак неравенства  ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.

Шаг №4

Строим вектор C = (1, 1), координатами которого являются коэффициенты функции F.

Шаг №5

Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.

"Красная" прямая называется линией уровня. В каждой точке линии уровня значение функции F есть величина постоянная.

В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.

В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.

Из рисунка видно, что невозможно определить последнее пересечение "красной" прямой области допустимых решений, т.е. функция F неограниченно возрастает.

Ответ:

Fmax = + ∞










© 2010-2024

Если у Вас есть замечания, пожалуйста, пишите matematika1974@yandex.ru


Ссылки