Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче

Графический метод решения задачи линейного программирования

Задача:
Найти наименьшее значение функции

F = 3 x1 - x2

при следующих ограничениях:

Знак системы x1 - x2 24
x1 - 1/3 x2 1
3/2 x1 + 2 x2 9

x1 ≥ 0     x2 ≥ 0
Решение:

Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.

Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)

Последние два шага (см. шаг 4 - шаг 5) служат непосредственно для получения ответа.

Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.

Подставив координаты любой точки A (x1, x2), принадлежащей области допустимых решений, в выражение функции F, можно получить значение функции в данной точке F(A).

По условию задачи: x1 ≥ 0     x2 ≥ 0.

Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке справа (вся первая четверть).

Риунок №0. Линейное программирование.

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

x1 - x2  ≤  24

Построим прямую:   x1 - x2 = 24

Пусть x1 =0 => - x2 = 24 => x2 = -24

Пусть x2 =0 => x1 = 24

Найдены коородинаты двух точек (0, -24) и (24 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 - x2  ≤  24

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- x2  ≤  - x1 + 24

x2  ≥  x1 - 24

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №1. Линейное программирование.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

x1 - 1/3 x2  ≥  1

Построим прямую:   x1 - 1/3 x2 = 1

Пусть x1 =0 => - 1/3 x2 = 1 => x2 = -3

Пусть x2 =0 => x1 = 1

Найдены коородинаты двух точек (0, -3) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 - 1/3 x2  ≥  1

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- 1/3 x2  ≥  - x1 + 1

x2  ≤  3 x1 - 3

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №2. Линейное программирование.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

3/2 x1 + 2 x2  ≥  9

Построим прямую:   3/2 x1 + 2 x2 = 9

Пусть x1 =0 => 2 x2 = 9 => x2 = 9/2

Пусть x2 =0 => 3/2 x1 = 9 => x1 = 6

Найдены коородинаты двух точек (0, 9/2) и (6 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.

3/2 x1 + 2 x2  ≥  9

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

2 x2  ≥  - 3/2 x1 + 9

x2  ≥  - 3/4 x1 + 9/2

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №3. Линейное программирование.

Шаг №4

Строим вектор C = (3, -1), координатами которого являются коэффициенты функции F.

Риунок №4. Линейное программирование.

Шаг №5

Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого верхнего угла к правому нижнему.

В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.

В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.

Есть предположение, что функция F достигает наименьшего значения на луче, который имеет свое начало в точке А. (см. рисунок справа)

Точка A одновременно принадлежит прямым (2) и (3). Составим систему уравнений:

Знак системы x1 - 1/3 x2 = 1   =>   x1 = 2
3/2 x1 + 2 x2 = 9 x2 = 3

Вычислим значение функции F в точке A (2,3).

F (A) = 3 * 2 - 1 * 3 = 3

Координаты любой точки луча, имеющего свое начало в точке А, можно записать следующим образом:

x1 = 2 + 1 * t

x2 = 3 + 3 * t

где   t ≥ 0

Найдем координаты произвольной точки B, принадлежащей лучу.

Пусть t = 1

x1 = 2 + 1 * 1 = 3

x2 = 3 + 3 * 1 = 6

Вычислим значение функции F в точке B (3,6).

F (B) = 3 * 3 - 1 * 6 = 3

F(A) = F(B), следовательно, предположение оказалось верным.

Тогда можно сделать вывод, что и в любой точке луча, имеющего свое начало в точке А, функция F достигает своего наименьшего значения.

Риунок №5. Линейное программирование.

Ответ:

x1 = 2 + 1 * t

x2 = 3 + 3 * t

где   t ≥ 0

Fmin = 3










© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки