 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №4. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Функция достигает наименьшего значения на отрезке
F = 2 x1 + 2 x2
при следующих ограничениях:
 | x1 | + | x2 | ≥ | 6 | |
| 3 x1 | - | x2 | ≥ | 3 | ||
| x1 | - | x2 | ≤ | 2 | ||
| x2 | ≤ | 6 | ||||
| x1 | ≤ | 5 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 5)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 6 - шаг 7)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
x1 + x2 ≥ 6
Построим прямую: x1 + x2 = 6
Пусть x1 =0 => x2 = 6
Пусть x2 =0 => x1 = 6
Найдены коородинаты двух точек (0, 6) и (6 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 + x2 ≥ 6
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
x2 ≥ - x1 + 6
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
3 x1 - x2 ≥ 3
Построим прямую: 3 x1 - x2 = 3
Пусть x1 =0 => - x2 = 3 => x2 = -3
Пусть x2 =0 => 3 x1 = 3 => x1 = 1
Найдены коородинаты двух точек (0, -3) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
3 x1 - x2 ≥ 3
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≥ - 3 x1 + 3
x2 ≤ 3 x1 - 3
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
x1 - x2 ≤ 2
Построим прямую: x1 - x2 = 2
Пусть x1 =0 => - x2 = 2 => x2 = -2
Пусть x2 =0 => x1 = 2
Найдены коородинаты двух точек (0, -2) и (2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 - x2 ≤ 2
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≤ - x1 + 2
x2 ≥ x1 - 2
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.
x2 ≤ 6
Построим прямую: x2 = 6
Данная прямая параллельна оси OX1 и проходит через точку (0,6) (4)
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (4).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 5 системы ограничений.
x1 ≤ 5
Построим прямую: x1 = 5
Данная прямая параллельна оси OX2 и проходит через точку (5,0) (5)
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные левее построенной прямой (5).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Строим вектор C = (2, 2), координатами которого являются коэффициенты функции F.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.
"Красная" прямая называется линией уровня. В каждой точке линии уровня значение функции F есть величина постоянная.В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.
В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.
Есть предположение, что функция F достигает наименьшего значения в точках A и B одновременно (см. рисунок). Проверим это предположение.
Найдем координаты точки A.
Точка A одновременно принадлежит прямым (1) и (2).
| x1 | + | x2 | = | 6 | => | x1 = 9/4 | |
| 3 x1 | - | x2 | = | 3 | x2 = 15/4 |
Вычислим значение функции F в точке A (9/4,15/4).
F (A) = 2 * 9/4 + 2 * 15/4 = 12
Найдем координаты точки B.
Точка B одновременно принадлежит прямым (1) и (3).
| x1 | + | x2 | = | 6 | => | x1 = 4 | |
| x1 | - | x2 | = | 2 | x2 = 2 |
Вычислим значение функции F в точке B (4,2).
F (B) = 2 * 4 + 2 * 2 = 12
F(A) = F(B)
Тогда можно сделать вывод, что функция F достигает своего наименьшего значения в любой точке отрезка AB.
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
x1 = 9/4 * t + 4 * ( 1 - t )
x2 = 15/4 * t + 2 * ( 1 - t )
где 0 ≤ t ≤ 1
F min = 12
Замечание: изменяя параметр t можно получить координаты любой точки отрезка AB.