Логотип

Решение задач по математике онлайн

Главная >> Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке.

Графический метод решения задачи линейного программирования.

Данное решение является образцом работы программы, представленной на сайте.

Задача:
Найти наименьшее значение функции

F = 5 x1 + 5 x2

при следующих ограничениях:

Знак системы x1 + x2 2
x1 1/2
x2 1/4
x1 - x2 1

x1 ≥ 0     x2 ≥ 0
Решение:

Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.

Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 4)

Последние два шага (см. шаг 5 - шаг 6) служат непосредственно для получения ответа.

Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.

Подставив координаты любой точки A (x1, x2), принадлежащей области допустимых решений, в выражение функции F, можно получить значение функции в данной точке F(A).

По условию задачи: x1 ≥ 0     x2 ≥ 0.

Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке справа (вся первая четверть).

Риунок №0. Линейное программирование.

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

x1 + x2  ≤  2

Построим прямую:   x1 + x2 = 2

Пусть x1 =0 => x1 = 2

Пусть x2 =0 => x2 = 2

Найдены коородинаты двух точек (0, 2) и (2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 + x2  ≤  2

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

x2  ≤  - x1 + 2

Знак неравенства  ≤ , следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №1. Линейное программирование.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

x1  ≥  1/2

Построим прямую:

x1 = 1/2   (2)

Данная прямая параллельна оси OX2 и проходит через точку (1/2,0)   (2)

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные правее построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №2. Линейное программирование.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x2  ≥  1/4

Построим прямую:

x2 = 1/4   (3)

Данная прямая параллельна оси OX1 и проходит через точку (0,1/4)   (3)

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №3. Линейное программирование.

Шаг №4

Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.

x1 - x2  ≤  1

Построим прямую:   x1 - x2 = 1

Пусть x1 =0 => - x2 = 1 => x2 = -1

Пусть x2 =0 => x2 = 1

Найдены коородинаты двух точек (0, -1) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (4).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (4) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 - x2  ≤  1

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- x2  ≤  - x1 + 1

x2  ≥  x1 - 1

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (4).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №4. Линейное программирование.

Шаг №5

Строим вектор C = (5, 5), координатами которого являются коэффициенты функции F.

Вектор C нарисован не в масштабе, так как он не помещается на рисунке.

Риунок №5. Линейное программирование.

Шаг №6

Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.

В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.

В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.

Функция F достигает наименьшего значения в точке A. (см. рисунок справа)

Точка A одновременно принадлежит прямым (2) и (3). Составим систему уравнений:

Знак системы x1 = 1/2   =>   x1 = 1/2
x2 = 1/4 x2 = 1/4

Вычислим значение функции F в точке A (1/2,1/4).

F (A) = 5 * 1/2 + 5 * 1/4 = 15/4

Риунок №6. Линейное программирование.

Ответ:

x1 = 1/2

x2 = 1/4

F min = 15/4

Замечание: если возникли сомнения, что в точке А функция F достигает своего минимума, необходимо найти значение функции в интересующей точке и сравнить с F(A).










© 2010–2016
По всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru


Ссылки