 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №2. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Функция достигает наименьшего значения в точке
F = 2 x1 + 2 x2
при следующих ограничениях:
 | x1 | + | 2 x2 | ≤ | 8 | |
| x1 | - | x2 | ≤ | 2 | ||
| x1 | + | 2 x2 | ≥ | 4 | ||
| x1 | ≥ | 1 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 4)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 5 - шаг 6)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
x1 + 2 x2 ≤ 8
Построим прямую: x1 + 2 x2 = 8
Пусть x1 =0 => 2 x2 = 8 => x2 = 4
Пусть x2 =0 => x1 = 8
Найдены коородинаты двух точек (0, 4) и (8 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 + 2 x2 ≤ 8
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
2 x2 ≤ - x1 + 8
x2 ≤ - 1/2 x1 + 4
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
x1 - x2 ≤ 2
Построим прямую: x1 - x2 = 2
Пусть x1 =0 => - x2 = 2 => x2 = -2
Пусть x2 =0 => x1 = 2
Найдены коородинаты двух точек (0, -2) и (2 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 - x2 ≤ 2
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≤ - x1 + 2
x2 ≥ x1 - 2
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
x1 + 2 x2 ≥ 4
Построим прямую: x1 + 2 x2 = 4
Пусть x1 =0 => 2 x2 = 4 => x2 = 2
Пусть x2 =0 => x1 = 4
Найдены коородинаты двух точек (0, 2) и (4 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (3).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (3) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 + 2 x2 ≥ 4
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
2 x2 ≥ - x1 + 4
x2 ≥ - 1/2 x1 + 2
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 4 системы ограничений.
x1 ≥ 1
Построим прямую: x1 = 1
Данная прямая параллельна оси OX2 и проходит через точку (1,0) (4)
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные правее построенной прямой (4).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Строим вектор C = (2, 2), координатами которого являются коэффициенты функции F.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого нижнего угла к правому верхнему.
"Красная" прямая называется линией уровня. В каждой точке линии уровня значение функции F есть величина постоянная.В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.
В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.
Функция F достигает наименьшего значения в точке A. (см. рисунок)
Найдем координаты точки A.
Точка A одновременно принадлежит прямым (3) и (4).
| x1 | + | 2 x2 | = | 4 | => | x1 = 1 | |
| x1 | = | 1 | x2 = 3/2 |
Вычислим значение функции F в точке A (1,3/2).
F (A) = 2 * 1 + 2 * 3/2 = 5
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
x1 = 1
x2 = 3/2
F min = 5
Замечание: если возникли сомнения, что функция F достигает своего минимума в точке А, необходимо найти значение функции в интересующей точке и сравнить с F(A).