 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №9. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Область допустимых решений точка
Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке
Пример №3. Функция достигает наибольшего значения на отрезке
Пример №4. Функция достигает наименьшего значения на отрезке
Пример №5. Функция достигает наибольшего значения на луче
Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче
F = x1 + x2
при следующих ограничениях:
 | x1 | + | x2 | ≥ | 1 | |
| x1 | - | x2 | ≥ | 1 | ||
| x1 | ≤ | 1 | ||||
| 2 x1 | + | x2 | ≥ | 1 | ||
| x1 | + | 2 x2 | ≤ | 7 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 5)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 6 - шаг 7)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
x1 + x2 ≥ 1
Построим прямую: x1 + x2 = 1
Пусть x1 =0 => x2 = 1
Пусть x2 =0 => x1 = 1
Найдены коородинаты двух точек (0, 1) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 + x2 ≥ 1
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
x2 ≥ - x1 + 1
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
x1 - x2 ≥ 1
Построим прямую: x1 - x2 = 1
Пусть x1 =0 => - x2 = 1 => x2 = -1
Пусть x2 =0 => x1 = 1
Найдены коородинаты двух точек (0, -1) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
x1 - x2 ≥ 1
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- x2 ≥ - x1 + 1
x2 ≤ x1 - 1
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные ниже построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
x1 ≤ 1
Построим прямую: x1 = 1
Данная прямая параллельна оси OX2 и проходит через точку (1,0) (3)
Знак неравенства ≤ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные левее построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. Из рисунка видно, что область допустимых решений представляет собой одну точку A.
Координаты точки A (1,0) известны. (см. шаг 1)
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
Необходимо проверить, удовлетворяют ли координаты точки A (1,0) неравенству 4 системы ограничений?
2 * 1 + 1 * 0 ≥ 1
2 ≥ 1
Да, удовлетворяют.
Необходимо проверить, удовлетворяют ли координаты точки A (1,0) неравенству 5 системы ограничений?
1 * 1 + 2 * 0 ≤ 7
1 ≤ 7
Да, удовлетворяют.
Вычислим значение функции F в точке A (1, 0).
F (A) = 1 * 1 + 1 * 0 = 1