Логотип

Решение задач по математике онлайн

Подробное решение типовых задач по высшей математике
Главная   >>   Пример №8. Функция неограниченно убывает

Графический метод решения задачи линейного программирования

Задача:
Найти наименьшее значение функции

F = x1 - 2 x2

при следующих ограничениях:

Знак системы x1 + 3/5 x2 1
4 x1 - 6 x2 3
x2 1/2

x1 ≥ 0     x2 ≥ 0
Решение:

Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.

Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)

Последние два шага (см. шаг 4 - шаг 5) служат непосредственно для получения ответа.

Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.

Подставив координаты любой точки A (x1, x2), принадлежащей области допустимых решений, в выражение функции F, можно получить значение функции в данной точке F(A).

По условию задачи: x1 ≥ 0     x2 ≥ 0.

Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке справа (вся первая четверть).

Риунок №0. Линейное программирование.

Шаг №1

Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.

x1 + 3/5 x2  ≥  1

Построим прямую:   x1 + 3/5 x2 = 1

Пусть x1 =0 => 3/5 x2 = 1 => x2 = 5/3

Пусть x2 =0 => x1 = 1

Найдены коородинаты двух точек (0, 5/3) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.

x1 + 3/5 x2  ≥  1

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

3/5 x2  ≥  - x1 + 1

x2  ≥  - 5/3 x1 + 5/3

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №1. Линейное программирование.

Шаг №2

Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.

4 x1 - 6 x2  ≤  3

Построим прямую:   4 x1 - 6 x2 = 3

Пусть x1 =0 => - 6 x2 = 3 => x2 = -1/2

Пусть x2 =0 => 4 x1 = 3 => x1 = 3/4

Найдены коородинаты двух точек (0, -1/2) и (3/4 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).

Возникает вопрос, нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.

4 x1 - 6 x2  ≤  3

Перенесем все в правую часть неравенства, оставив в левой части только x2

- 6 x2  ≤  - 4 x1 + 3

x2  ≥  2/3 x1 - 1/2

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (2).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №2. Линейное программирование.

Шаг №3

Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.

x2  ≥  1/2

Построим прямую:

x2 = 1/2   (3)

Данная прямая параллельна оси OX1 и проходит через точку (0,1/2)   (3)

Знак неравенства  ≥ , следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).

Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке справа.

Риунок №3. Линейное программирование.

Шаг №4

Строим вектор C = (1, -2), координатами которого являются коэффициенты функции F.

Вектор C нарисован не в масштабе, так как он не помещается на рисунке.

Риунок №4. Линейное программирование.

Шаг №5

Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого верхнего угла к правому нижнему.

В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.

В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.

Из рисунка видно, что невозможно определить первое пересечение "красной" прямой области допустимых решений, т.е. функция F неограниченно убывает.

Риунок №5. Линейное программирование.

Ответ:

Fmin = - ∞










© 2010-2018, по всем вопросам пишите по адресу matematika1974@yandex.ru



Ссылки