 | Сервис для решения задач по линейному программированиюи другие интересные типовые задачи |
English |
Пример №8. Решение задачи линейного программирования графическим методом.
Функция неограниченно убывает
Пример №2. Функция достигает наименьшего значения в точке
Пример №3. Функция достигает наибольшего значения на отрезке
Пример №4. Функция достигает наименьшего значения на отрезке
Пример №5. Функция достигает наибольшего значения на луче
Пример №6. Функция достигает наименьшего значения на луче
F = x1 - 2 x2
при следующих ограничениях:
 | 2 x1 | + | x2 | ≥ | 2 | |
| 4 x1 | - | 6 x2 | ≤ | 12 | ||
| x2 | ≥ | 1 |
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0
Точки, координаты которых удовлетворяют одновременно всем неравенствам системы ограничений, называются областью допустимых решений.
Очевидно, для нахождения области допустимых решений данной задачи, необходимо последовательно рассмотреть каждое неравенство. (см. шаг 1 - шаг 3)
Последние два шага служат непосредственно для получения ответа. (см. шаг 4 - шаг 5)
Это стандартная схема решения. Если область допустимых решений представляет собой точку или пустое множество, то решение будет короче.
Посмотреть план решение этой задачи в картинках
По условию задачи: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0.
Если бы это было единственным условием, то область допустимых решений имела бы вид, как на рисунке (вся первая четверть).
Рассмотрим неравенство 1 системы ограничений.
2 x1 + x2 ≥ 2
Построим прямую: 2 x1 + x2 = 2
Пусть x1 =0 => x2 = 2
Пусть x2 =0 => 2 x1 = 2 => x1 = 1
Найдены коородинаты двух точек (0, 2) и (1 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (1).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (1) ?
Вернемся к исходному неравенству.
2 x1 + x2 ≥ 2
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
x2 ≥ - 2 x1 + 2
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (1).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 2 системы ограничений.
4 x1 - 6 x2 ≤ 12
Построим прямую: 4 x1 - 6 x2 = 12
Пусть x1 =0 => - 6 x2 = 12 => x2 = -2
Пусть x2 =0 => 4 x1 = 12 => x1 = 3
Найдены коородинаты двух точек (0, -2) и (3 ,0). Соединяем их и получаем необходимую прямую (2).
Нас интересуют точки расположенные выше или ниже построенной прямой (2) ?
Вернемся к исходному неравенству.
4 x1 - 6 x2 ≤ 12
Преобразуем неравенство, оставив в левой части только x2
- 6 x2 ≤ - 4 x1 + 12
x2 ≥ 2/3 x1 - 2
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (2).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Рассмотрим неравенство 3 системы ограничений.
x2 ≥ 1
Построим прямую: x2 = 1
Данная прямая параллельна оси OX1 и проходит через точку (0,1) (3)
Знак неравенства ≥ . Следовательно, нас интересуют точки расположенные выше построенной прямой (3).
Объединим данное условие с предыдущим рисунком. В итоге получим область допустимых решений, изображенную на рисунке.
Строим вектор C = (1, -2), координатами которого являются коэффициенты функции F.
Будем перемещать "красную" прямую, перпендикулярно вектору C, от левого верхнего угла к правому нижнему.
"Красная" прямая называется линией уровня. В каждой точке линии уровня значение функции F есть величина постоянная.В точке, в которой "красная" прямая в первый раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наименьшего значения.
В точке, в которой "красная" прямая в последний раз пересечет область допустимых решений, функция F достигает своего наибольшего значения.
Из рисунка видно, что невозможно определить первое пересечение "красной" прямой области допустимых решений, т.е. функция F неограниченно убывает.
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}
){kind=link}